3 模擬試験 11 月 25 日

□ 1. 次の (1) から (7) までの各問について、それぞれ選択肢の中から正しい答えを選んで、所定の解答用紙の指定欄にその記号を記入せよ。 (55 点)

□ (1) l_{x} = \frac{l_{0}}{100}(100 − x) (0 ≤ x < 100) であるとき、次のうち最大の値となるものはどれか。 (H.7, 生保 1, 1 (3))

(A) _{2}q_{50}  (B) 2 · μ_{50}  (C) 2 · m_{50}  (D) _{4|2}q_{50}  (E) 1/ e^{∘}_{50}

□ (2) ある定常社会で 1 年間の死亡者数が 7,500 人、総人口に対する出生数の比が 1.5%であるとする。また 35 歳未満の人口が総人口の 50.0%を占め、かつ 35 歳未満で死亡する者の平均年齢は 5 歳であるとする。この条件のもとで、 35 歳以上における総人口の死亡率 (観察死亡率) の値に最も近いものは次のうちどれか。

(H.10, 生保 1, 1 (3))

(A) 0.025  (B) 0.026  (C) 0.027  (D) 0.028  (E) 0.029
(F) 0.030  (G) 0.031  (H) 0.032  (I) 0.033  (J) 0.034

□ (3) ある団体を組織し、毎年 10,000 人が年間を通じて一様に入ってくるようにした。加入者はすべて 45 歳で加入し、下の l_{x} の表に従って生存、もしくは死亡し 55 歳になればすべて脱会するものとする。この団体は 10 年経過すれば定常状態に到達するが、そのときの人数に最も近いのは次のうちどれか。 (H.7, 生保 1, 1 (4))

(A) 93,226  (B) 93,438  (C) 95,879  (D) 98,226  (E) 98,438

l_{x} 表

\begin{matrix}x & l_{x} \\ 44 & 96,107 \\ 45 & 95,879 \\ 46 & 95,632 \\ 47 & 95,360 \end{matrix} \begin{matrix}x & l_{x} \\ 48 & 95,060 \\ 49 & 94,726 \\ 50 & 94,353 \\ 51 & 93,936 \end{matrix} \begin{matrix}x & l_{x} \\ 52 & 93,472 \\ 53 & 92,969 \\ 54 & 92,423 \\ 55 & 91,829 \end{matrix}

□ (4) x 歳加入、年払全期払込、 n 年満期養老保険 (保険金額 1、保険金期末払) において t 年経過後に払済保険に変更すると払済保険金額は 0.7774 になる。延長保険へ変更する場合、生存保険金額に最も近いのは次のうちどれか。但し、 v = 0.9524、 ä_{x:\overline{n}|} = 15.8314、 A_{x+t:\overline{n−t}|^{1}}= 0.5732 とする。また、解約控除はないものとし、払済保険の予定事業費は毎年始に保険金額の 0.0025、また、延長保険の予定事業費は毎年始に死亡保険金額の 0.0015 と生存保険金額の 0.0010 の合計とする。 (H.8, 生保 2, 1 (3))

(A) 0.750  (B) 0.754  (C) 0.758  (D) 0.762  (E) 0.766

□ (5) 脱退原因が A, B からなる 2 重脱退表において脱退力が μ_{x}^{A} = \frac{1}{100 − x}, μ_{x}^{B} = \frac{1}{90 − x} のとき、 40 歳の A 脱退率 q_{40}^{A} の値は次のうちどれに最も近いか。 (H.8, 生保 2, 1 (1))

(A) 0.0145  (B) 0.0150  (C) 0.0155  (D) 0.0160  (E) 0.0165

□ (6) 死亡解約脱退残存表における生存者数が l_{x} = 100, 000 − 1000x (0 ≦ x ≦ 100) で表され、かつ各年齢におけ

る死亡率 q_{x} が解約率 q_{x}^{w} の 1.5 倍であるとすると、 40 歳の絶対死亡率 q_{40}^{∗} は次のうちどれに最も近いか。

(H.7, 生保 2, 1 (1))

(A) 0.00994  (B) 0.00997  (C) 0.01000  (D) 0.01003  (E) 0.01006

□ (7) x 歳加入保険期間 2 年年払全期払込の死亡保険 (保険金年末払) において、死因 A による死亡では保険金額 1 を、死因 B(死因 A 以外のすべての死因) による死亡では保険金額 3 を支払う定期保険を考える。ここで、死因 A による絶対死亡率は q_{x}^{A∗} = q_{x+1}^{A∗} = 0.01、死因 B による絶対死亡率は q_{x}^{B∗} = q_{x+1}^{B∗} = 0.02 であり、各死因による死亡はそれぞれ独立かつ 1 年を通じて一様に発生するものとする。このとき、この保険の年払営業保険料の値に最も近いものは次うちどれか。ただし、予定利率は 3.00%とし、予定事業費は次の通りとする。予定新契約費：新契約時に死因 A による保険金額 1 に対し、 0.020 予定集金経費：保険料払込のつど、営業保険料 1 に対し、 0.030 予定維持費 ：毎年始に死因 A による保険金額 1 に対し、 0.002 (H.11, 生保 2, 1 (3))

(A) 0.0823  (B) 0.0825  (C) 0.0827  (D) 0.0829  (E) 0.0831
(F) 0.0833  (G) 0.0835  (H) 0.0837  (I) 0.0839  (J) 0.0841

□ (8) 死亡・就業不能脱退残存表において、生存者総数にしめる就業不能者数の割合が x 歳では 0.035420、 x + 1 歳では 0.040097 であるとする。 x 歳の絶対死亡率が 0.013626、 x 歳の就業不能の絶対死亡率が 0.035671 のとき、 x 歳の就業者が 1 年以内に就業不能になる確率 q_{x}^{(i)} の値に最も近いものは次のうちどれか。ただし、死亡および就業不能はそれぞれ独立かつ 1 年を通じて一様に発生するものとする。 (H.11, 生保 2, 1 (5))

(A) 0.0055  (B) 0.0056  (C) 0.0057  (D) 0.0058  (E) 0.0059
(F) 0.0060  (G) 0.0061  (H) 0.0062  (I) 0.0063  (J) 0.0064

□ 2. 次の�〜�に当てはまる最も適切な数値を、計算過程を示すとともに、指定の解答用紙の所定欄に、�〜� は整数、�は小数点第 2 位で記入せよ。必要ならば、�〜�については小数点第 1 位を四捨五入し、�は小

数点第 3 位を四捨五入うえ、記入せよ。  (8 点)  (H.13, 生保, 2)

\begin{matrix} x & l_{x}^{aa} & d_{x}^{aa} & i_{x} & l_{x}^{ii} & d_{x}^{ii} & _{x−30}p_{30}^{i} & q_{x}^{i} & q_{x}^{aa} & q_{x}^{(i)} \\ 30 & 1, 140, 000 & ― & 1, 200 & 4, 000 & � & ― & 0.1 & ― & ― \\ 31 & 1, 135, 000 & ― & � & ― & ― & ― & 0.1 & 0.003 & ― \\ 32 & 1, 130, 595 & 250 & ― & � & 850 & � & ― & ― & 0.0008 \end{matrix}

(∗) 就労不能者が回復して就労者集団に復帰することはないことを前提とする。

□ 3. 死亡・就業不能脱退残存表において、就業者の死力を μ_{x}^{ad}、就業不能の瞬間発生率を μ_{x}^{ai}、就業不能者の死力

を μ_{x}^{id} とするとき、次の問に答えよ。ただし、就業不能状態からの復帰はないものとする。 (20 点)

(1) 次の空欄に当てはまる適当な算式を所定の解答用紙に記入せよ。

(i) _{t}p_{x}^{ai} = \frac{1}{l_{x+1}^{aa}} (l_{x}^{ii} − � ) = ∫_{0}^{t}  � ds = _{t}p_{x}^{i} ∫_{0}^{t}  � ds
(ii) \frac{d}{dt}_{t}p_{x}^{ai} = _{t}p_{x}^{aa} · μ_{x+t}^{ai} − �

(iii) μ_{x+1}^{id} = μ (μ は正の定数) の場合

 \frac{d}{dt} (\frac{_{t}p_{x}^{ai}}{_{t}p_{x}^{i}} ) =  �

(2) (1) (iii) の仮定のもとで、_{t}p_{x}^{aa}μ_{x+t}^{ai} = _{t}p_{x}^{i} が成立していたとすると、_{t}p_{x}^{ai} = t · e^{−μt} が成立することを証明せよ。 (H.9, 生保 2, 3)

□ 4. 次の空欄に当てはまる一つの記号を所定の解答用紙の指定欄に記入せよ。一つの記号とは例えば N_{x}^{ii}, l_{x}^{ii} などをいい、 ∑_{t=1}^{h} N_{x+t}^{ii}, \frac{l_{x}^{ii}}{l_{x+1}^{ii}} などは不可とする。一つの記号以外を記入した解答は採点の対象とはならない。

就業者である x 歳の被保険者が、年払 n 年満期全期払込定期保険 (死亡保険金額 1 保険金年末支払) に加入した。保険料の払込は就業不能状態となった以降は免除するものとする。なお、就業不能状態からの回復はないものとし、以下の保険料計算においては予定事業費率は考慮しないものとする。

(1) この定期保険の年払保険料を以下の通り求める。 (20 点) (H.14, 生保, 4) この保険の支出現価は、次の二つの合計となる。 A. x 歳の健常者が n 年間のうちに健常者のまま死亡した場合に年度末に保険金 1 を支払う保険の支出現価 B. x 歳の健常者が n 年間のうちに要介護状態となり死亡した場合に年度末に保険金 1 を支払う保険の支出現価

A の一時払純保険料を計算基数を用いて表すと、\frac{2 − 3}{1} となる。 · · · · · · · · · (I)

B の一時払純保険料を計算基数を用いて表すと、

\frac{4 − 5 − D_{x}^{ii} × \frac{7 − 8}{6}}{1} となる。 · · · · · · · · · (II)

年払純保険料を P とすると、収入保険料の現価は、計算基数を用いて表すと、

P × ( \frac{9 − 10}{1} ) となる。 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (III)

収支相等の原則より (I) + (II) = (III) が成り立つ。よって、求める年払純保険料 (P) を、計算基数を用いて表すと、

P = \frac{2 − 3 + 4 − 5 − D_{x}^{ii} × \frac{7 − 8}{6}}{9 − 10}

= \frac{11 − 12 − D_{x}^{ii} × \frac{7 − 8}{6}}{9 − 10} · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (IV)

(2) この保険契約の x + t 歳における就業者の将来法および過去法における保険年度末責任準備金を考え、両者が一致することを証明する。なお、責任準備金は、就業者と就業不能者を区別せずに計算するのが一般的な方法であるが、ここでは、両者を区別して考えるものとする。また、以下では就業者についての将来法・過去法の責任準備金の一致を考えていくこととする。

x + t 歳の者の将来法により計算した保険年度末責任準備金を_{t}^{F}V_{x} とすると、

{l_{x+t}^{aa} + (l_{x+t}^{ii} − l_{x}^{ii} ·_{t}p_{x}^{i})} _{t}^{F}V_{x} = ∑_{s=0}^{n−t−1} v^{s+1} · 13 + ∑_{s=0}^{n−t−1} v^{s+1} · 14

− \frac{16}{15}  ∑_{s=0}^{n−t−1} v^{s+1} · 17 − P × ∑_{s=0}^{n−t−1} v^{s+1} · 18

両辺に v^{x+t} を乗じ、さらに v^{x+t} × {l_{x+t}^{aa} + (l_{x+t}^{ii} − l_{x}^{ii} ·_{t}p_{x}^{i})} で割って計算基数を用いて表示すると、

_{t}^{F}V_{x} = \frac{19 − 20}{D_{x+t} − D_{x}^{ii} · \frac{D_{x+t}^{i}}{D_{x}^{i}}} + \frac{21 − 22}{D_{x+t} − D_{x}^{ii} · \frac{D_{x+t}^{i}}{D_{x}^{i}}} − \frac{23}{D_{x+t} − D_{x}^{ii} · \frac{D_{x+t}^{i}}{D_{x}^{i}}} · \frac{25 − 26}{24} − P ×\frac{27 − 28}{D_{x+t} − D_{x}^{ii} · \frac{D_{x+t}^{i}}{D_{x}^{i}}}

= \frac{29 − 30}{D_{x+t} − D_{x}^{ii} · \frac{D_{x+t}^{i}}{D_{x}^{i}}} − \frac{23}{D_{x+t} − D_{x}^{ii} · \frac{D_{x+t}^{i}}{D_{x}^{i}}} · \frac{25 − 26}{24} − P × \frac{27 − 28}{D_{x+t} − D_{x}^{ii} · \frac{D_{x+t}^{i}}{D_{x}^{i}}}

次に、 x + t 歳の者の過去法により計算した保険年度末責任準備金を_{t}^{P}V_{x} とすると、

{l_{x+t}^{aa} + (l_{x+t}^{ii} − l_{x}^{ii} ·_{t}p_{x}^{i})} _{t}^{P}V_{x} = P × ∑_{s=0}^{t−1}(1 + i)^{t−s} · 31 − ∑_{s=0}^{t−1}(1 + i)^{t−1−s} · 32

−\{ ∑_{s=0}^{t−1}(1 + i)^{t−1−s} · 33 − \frac{16}{15}  ∑_{s=0}^{t−1}(1 + i)^{t−1−s} · 34 \}

両辺に v^{x+t} を乗じた後、さらに v^{x+t} × {l_{x+t}^{aa} + (l_{x+t}^{ii} − l_{x}^{ii} ·_{t}p_{x}^{i})} で割って計算基数を用いて表示すると、

_{t}^{P}V_{x} = P ×\frac{35 − 27}{D_{x+t} − D_{x}^{ii} · \frac{D_{x+t}^{i}}{D_{x}^{i}}} − \frac{36 − 19}{D_{x+t} − D_{x}^{ii} · \frac{D_{x+t}^{i}}{D_{x}^{i}}} − \frac{37 − 21}{D_{x+t} − D_{x}^{ii} · \frac{D_{x+t}^{i}}{D_{x}^{i}}} + \frac{23}{D_{x+t} − D_{x}^{ii} · \frac{D_{x+t}^{i}}{D_{x}^{i}}} · \frac{38 − 25}{24}

= P × \frac{35 − 27}{D_{x+t} − D_{x}^{ii} · \frac{D_{x+t}^{i}}{D_{x}^{i}}} − \frac{39 − 29}{D_{x+t} − D_{x}^{ii} · \frac{D_{x+t}^{i}}{D_{x}^{i}}} + \frac{23}{D_{x+t} − D_{x}^{ii} · \frac{D_{x+t}^{i}}{D_{x}^{i}}} · \frac{38 − 25}{24} · · · · · · · · · · · · (V)

ここで、

P × \frac{35 − 27}{D_{x+t} − D_{x}^{ii} · \frac{D_{x+t}^{i}}{D_{x}^{i}}} = P × \frac{35 − 28}{D_{x+t} − D_{x}^{ii} · \frac{D_{x+t}^{i}}{D_{x}^{i}}} − P × \frac{27 − 28}{D_{x+t} − D_{x}^{ii} · \frac{D_{x+t}^{i}}{D_{x}^{i}}}

右辺第一項に (IV) を代入して整理すると、

P × \frac{35 − 27}{D_{x+t} − D_{x}^{ii} · \frac{D_{x+t}^{i}}{D_{x}^{i}}} = \frac{39 − 30}{D_{x+t} − D_{x}^{ii} · \frac{D_{x+t}^{i}}{D_{x}^{i}}} − \frac{23}{D_{x+t} − D_{x}^{ii} · \frac{D_{x+t}^{i}}{D_{x}^{i}}} · \frac{38 − 26}{24} − P × \frac{27 − 28}{D_{x+t} − D_{x}^{ii} · \frac{D_{x+t}^{i}}{D_{x}^{i}}}

これを (V) に代入して整理すると_{t}^{F}V_{x} = _{t}^{P}V_{x} が証明できる。以上

解答用紙 1(11 月 25 日分) \underline{氏名}

問題１

設問番号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
解答欄

問題 2

設問番号����
解答欄

(計算過程: 必要ならば裏も用いよ)。

解答用紙 2(11 月 25 日分) \underline{氏名}

問題３

�
�
�
�
�

(計算過程: 必要ならば裏も用いよ)。

解答用紙 3(11 月 25 日分) \underline{氏名}

問題 4

設問設問設問設問
番号解答欄番号解答欄番号解答欄番号解答欄
1  11  21  31
2  12  22  32
3  13  23  33
4  14  24  34
5  15  25  35
6  16  26  36
7  17  27  37
8  18  28  38
9  19  29  39
10  20  30