模擬試験 (数学) 12 月 15 日

[問題 1 から問題 4 を通じて、必要であれば (付表) に記載された数値を用いよ。 ]

問題 1 次の各問のに入る答のみを、所定の解答用紙に記入せよ。 (32 点)

□ (1) A, B の 2 人が、 A, B, B, A, A, B, B, A, ⋯ の順に 1 つのサイコロを投げ、最初に 1 の目を出した方を勝ちとする。ただし、引き分けはなく、どちらかが勝つまでゲームを続けるものとする。このとき、 A の勝つ確率はである。 (H.6, 数学 1, 1 (1))

□ (2) 確率変数 X と Y の同時確率密度関数が、 f(x, y) = \{ \begin{matrix}x + y & (0 ≦ x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ 1) \\ 0 & その他 \end{matrix}であるとき、

確率変数 Z = X + Y の確率密度関数 h(z) は h(z) = \{ \begin{matrix}0 (z < 0) \\ 0 (z > 2) \end{matrix} (H.6, 数学 1, 1 (2))

□ (3) 確率変数 X, Y は互いに独立で、ともに平均 1 のポアソン分布に従う。このとき、 P (X · Y ≦ 3) = である。 (H.6, 数学 1, 1 (3))

□ (4) X と Y は独立な確率変数でいずれも標準正規分布 N(0, 1) (分布関数 F (x), 確率密度関数 f(x) とする。 ) に従う。このとき、 P (Y ≧ X|X ≧ 1) を F (1) を用いて表わすと、となる。 (H.6, 数学 2, 1 (4))

□ (5) 確率変数 X は次の幾何分布に従う: P (X = x) = p(1 − p)^{x} (x = 0, 1, 2, …).

このとき、期待値 E( ∑_{k=0}^{X} λ^{k}) = である。ただし、 λ は |λ| < 1 なる定数とする。 (H.6, 数学 1, 1 (5))

□ (6) 半径 1 の半円 O がある。その両端の点を A, B とする。いま半円周 AB^{⌢} 上でそれぞれ無作為に点 P, Q をとるとき、確率変数 X = \overline{PQ} (弦 PQ の長さ) の平均はであり、分散はである。 (H.6, 数学 1, 4)

問題 2 次の各問のに入る答のみを、所定の解答用紙に記入せよ。 (32 点)

□ (1) あるサイコロの 1 の目が出る確率が 1/6 といえるか、有意水準 1%で検定する。このサイコロを 4500 回投げたとき、回以上 1 の目が出ると、 1 の目が出る確率は 1/6 といえない。 (H.6, 数学 2, 1 (1))

□ (2) 母集団の確率密度関数が、指数分布 f(x|μ) = \{ \begin{matrix}(1/μ)e^{−x/μ} & (x > 0) \\ 0 & (x ≦ 0) \end{matrix} に従うとき、大きさ n の標本

変量平均\overline{X} について統計量 Y = C\overline{X}^{2} (C は定数) とする。ここで、 C = のとき、 Y は μ^{2} の不偏推定量である。 (H.6, 数学 2, 1 (2))

□ (3) ある池から 20 匹の魚をとらえて、これに目印をつけて池に放った。しばらくたって、魚を 1 匹ずつとらえてはもとに戻し、印のついた魚が得られるまで続けた。これに要した回数 (最後の回は計算に入れない) を X とする。この試行を 10 回繰り返して標本 x_{1}, x_{2}, …, x_{10} を得たとする。このとき、池の中の魚の総数 N の最尤推定量はである。 (H.6, 数学 2, 1 (3))

□ (4) (0, 1) 上の一様分布に従う母集団から大きさ n の標本を取り出したとき、標本中の最大値を X_{(n)} とする。確率変数 Y_{n} = (n + 1)(X_{(n)} − E[X_{(n)}]) の分布関数を G_{n}(y) について、 G_{n}(y) = であり、

lim_{n→∞} G_{n}(y) =  である。  (H.6, 数学 2, 1 (4) /H.14, 数学, 2 (8))

□ (5) (0, θ) 上の一様分布に従う母集団から大きさ n の標本を取り出し、標本中の最大値を X_{(n)} とする。 (θ > 0 とする。 ) このとき、

� Z = X_{(n)}/θ の確率密度関数はである。

� θ に対する信頼係数 α の最短の信頼区間は (  ,  ) である。  (H.6, 数学 2, 1 (5))

□ (6) 分散 64 の正規母集団の母平均 μ について帰無仮説 H_{0} : μ = 20 を対立仮説 H_{1} : μ = 21 に対して両側検定を行う。第 1 種の誤り確率を 0.05 以下に、第 2 種の誤り確率を 0.10 以下にとどめたい。このためには、標本の大きさ n を n ≧ とすればよい。 (小寺著, 明解演習数理統計, p.108, 1.2 / cf. H.14, 数学, 1 (2))

□ (7) 母集団が確率密度関数 f(x|θ) = \{ \begin{matrix}θx^{θ−1} & (0 ≦ x ≦ 1) \\ 0 & (その他) \end{matrix} により定義される分布に従うとき、 1 個の標本

x をとり、帰無仮説 H : θ = θ_{0} = 2 を対立仮説 H : θ = θ_{1} = 3 に対して検定する。このとき、有意水準 0.05 に対する最強力 (最有力) 検定の棄却域はである。 (H.10, 数学 2, 1 (7))

問題 3

 左図のような２つの三角形からなる図の頂点 0,1,2,3,4,5 のいずれかの位置 ; を時間の経過とともに移動していく粒子を考える。点 k (k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) ; に粒子があるという条件のもとで (それ以前の経過とは無関係に)、次の１ ; 秒後には辺で結ばれた他の頂点にランダムに移動するものとする: 即ち、 ; 例えば 1 からは 0,2,3,4 にそれぞれ 1/4 の確率で、 3 からは 1,4 にそれぞれ ; 1/2 の確率で移動するものとする。 ; このとき、点 k から出発した粒子が 5 に到達する以前に 0 に到着する確率 ; を p_{k} (k = 1, 2, 3, 4) とする。  (18 点)  図 [ p1215 3.jpg ]

(1) p_{k} (k = 1, 2, 3, 4) を p_{j} (j = 1, 2, 3, 4, j ≠ k) で表わせ。

(2) p_{k} (k = 1, 2, 3, 4) を求めよ。

問題 4 ある製品を 1 個組み立てるのに、 A 工場と B 工場で組み立て時間を測定したところ、次のような結果を得た。 A 工場および B 工場における組み立て時間はそれぞれ正規分布 N(μ_{A}, σ_{A}^{2}), N(μ_{B}, σ_{B}^{2}) に従っているものとする。このとき、有意水準 0.05 として次の問に答えよ。 (18 点) (H.10, 数学 2, 3)

標本数標本平均標本分散
A 工場 n_{A} = 10 \overline{x}_{A} = 65 s_{A}^{2} = 100
B 工場 n_{B} = 9 \overline{x}_{B} = 55 s_{B}^{2} = 79

(1) A 工場、 B 工場における組み立て時間の分散には差があると言えるか。

(2) A 工場、 B 工場における組み立て時間の平均には差があると言えるか。

(3) 過去のデータによると、 A, B 両工場を合わせた組み立て時間の分散が σ^{2} = 52 であった。このとき、今回の調査結果により、 A, B 両工場を合わせた組み立て時間の分散は今までと変わったと言えるか。

以上

解答用紙 1(12 月 15 日分) \underline{氏名}

問題１

設問番号解答欄
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)

解答用紙 2(12 月 15 日分) \underline{氏名}

問題 2

設問番号解答欄
(1)

(2)

(3)

(4)

(5) �

(5) �

(6)

(7)

解答用紙 3(12 月 15 日分) \underline{氏名}^{問題３ ((1), (2) の配分は各自行い、必要ならば裏も用いよ。 )}

5

解答用紙 4(12 月 15 日分) \underline{氏名}^{問題 4 ((1), (2), (3) の配分は各自行い、必要ならば裏も用いよ。 )}

6