模擬試験 (数学) 12 月 8 日

[問題 1 から問題 4 を通じて、必要であれば (付表) に記載された数値を用いよ。 ]

問題 1 次の各問のに入る答のみを、所定の解答用紙に記入せよ。 (40 点) □ (1) 非負の整数値を取り平均が m の離散的確率変数 X のなかで、 P (X ≧ M) を最大とする確率変数の分散 V (X)

はである。ただし、 M, m は正の整数で、 M > m とする。 (H.5, 数学 1, 1 (1)) □ (2) a, b, c はそれぞれ (0, 1) 上の一様分布に従う独立な確率変数とする。このとき、 2 次方程式 ax^{2} + bx + c = 0

が実数解をもつ確率はである。 (H.5, 数学 1, 1 (2)) □ (3) ある会社の内線電話における 1 通話あたりの回線使用料 Y は、通話時間 X によって次のように定まっている:

Y = \{ \begin{matrix}0 & (0 < X ≦ 1) \\ na & (n < X ≦ n + 1: n = 1, 2, …) (a は正の定数) \end{matrix}

確率変数 X が、平均 λ^{−1} (λ > 0) の指数分布に従うとき、 E[Y] = , V [Y] = である。

(H.5, 数学 1, 1 (3))

□ (4) X, Y が独立な確率変数で、ともに正規分布 N(0, σ^{2}) に従うとき、 U = X^{2} + Y^{2} の確率密度関数は、

f(u) = \{ \begin{matrix}& (u > 0) \\ 0 & (u ≦ 0) \end{matrix} である。 (H.5, 数学 2, 1 (4))

□ (5) X, Y は、ともに平均が α^{−1} (α > 0) の指数分布に従う独立な確率変数とする。これらの和 S = X + Y に対

して、 S = s が与えられたときの X の条件付分布の密度関数はである。 (H.5, 数学 1, 1 (5)) □ (6) 長さ L の線分を無作為に 3 分割する。得られた 3 つの線分を 3 辺とする三角形ができる確率はであ

る。 (H.5, 数学 1, 4 (1)) □ (7) 長さ L の線分を無作為に 2 分割し、長い方を更に無作為に 2 分割する。得られた 3 つの線分を 3 辺とする三

角形ができる確率はである。 (H.5, 数学 1, 4 (2)) □ (8) 確率変数 N は平均 λ (λ > 0) のポアソン分布に従うとし、確率変数 Y を

Y = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−∞}^{∞} x^{N+1} exp(\frac{−x^{2}}{2} ) dx

と定義する。このとき、平均 E[Y] =  である。  (H.5, 数学, 3)

問題 2 次の各問のに入る答のみを、所定の解答用紙に記入せよ。 (32 点)

□ (1) 平均が既知の正規母集団 N(μ, σ^{2}) の標準偏差 σ を推定する。大きさ n の標本変量を (X_{1}, ⋯, X_{n}) とするとき、統計量 T = \frac{C}{n} ∑_{i=1}^{n} |X_{i} − μ| (C は定数) とする。ここで、 C = のとき、 T は σ の不偏推定量となる。 (H.5, 数学 2, 1 (1))

□ (2) 大きさ N の有限母集団から非復元抽出した大きさ n (n < N) の標本変量を (X_{1}, X_{2}, …, X_{n}) とするとき、

X_{i}, X_{j} (i ≠ j) の相関係数 ρ はである。 (H.5, 数学 2, 1 (2))

□ (3) N 組の標本 (x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), …, (x_{n}, y_{n}) に対して、 y の x に対する回帰直線 (最小 2 乗直線) を、標本平均

\overline{x}, \overline{y}、標本標準偏差 σ_{x}, σ_{y} および標本相関係数 ρ を用いて表わすと、 y = x + 。 (H.5, 数学 2, 1 (3))

□ (4) 互いに異なる n 枚のカードを復元抽出する。各カードを引く確率が等しく 1/n であるとする。 4 回目に初め

て前回までに引いたカードのいずれかと同じカードを引いたとき、 n の最尤推定値はである。 (H.5, 数学 2, 1 (4))

□ (5) 母集団が密度関数 f(x|α, β) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{Γ(α)β^{α}} x^{α−1}e^{−x/β} & (x > 0) \\ 0 & (x ≦ 0) \end{matrix} (α > 0, β > 0) で表わされる分布に従っ

ているとき、この母集団からの n の標本値 (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) が得られたとすると、 β の最尤推定値はである。ただし、 α は既知とする。 (H.5, 数学 2, 1 (5))

□ (6) (0, 1) 上の一様分布に従う母集団から大きさ n の標本を取り出したとき、標本中の最大値と最小値の差を Z

とする。この確率変数 Z の確率密度関数は g(z) = \{ \begin{matrix}& (0 ≦ z ≦ 1) \\ 0 & (z < 0, 1 < z) \end{matrix} である。

(H.5, 数学 2, 3 (1))

□ (7) ((6) の続きです。 ) (0, 1) 上の一様分布に従う母集団から大きさ 65 の標本をとったとき、その最大値と最小値の間に、母集団の 95%以上が含まれる確率は %である。 (小数点以下第 2 位を四捨五入して小数第 1 位まで求めよ。 ) (H.5, 数学 2, 3 (2))

□ (8) ある 2 つの母集団から各々5 個のデータを抽出したところ、次の結果を得た。

A 母集団: 17.0, 14.5, 15.0, 15.5, 13.0 B 母集団: 12.0, 8.5, 11.0, 9.0, 9.5

A 母集団と B 母集団は、分散が等しい正規分布に従うものとして、 A 母集団と B 母集団の平均値の差 (A 母集団の平均値 −B 母集団の平均値) を信頼係数 95%で区間推定すると、信頼区間は ( , ) である。 (小数点以下第 4 位を四捨五入して小数第 3 位まで求めよ。 ) ( H.13, 数学, 2 (8))

問題 3 ある保険会社が 1 年間に新規に獲得する期間 1 年の保険契約の件数は平均 r (r > 0) のポアソン分布に従っている。それぞれの契約は 1 年ごとに確率 p (0 < p < 1) でそれぞれ独立に更新されていく。ただし、更新時

以外での契約の消滅はないものとする。  (10 点)  (H.5, 数学 1, 2 を簡略化)

(1) 新規契約の件数を X_{0}、 k 回更新された件数を X_{k} とする。このとき、 X_{k} の分布を求めよ。

(2) この会社が保険を発売してから十分な時間がたっているとき、この会社の保有する契約の件数は和 Y = ∑_{k=0}^{∞} X_{k} に従うと考えられる。この Y の分布を求めよ。

問題 4 同様な環境下で、等面積の 7 枚の畑に大麦を栽培した。肥料の濃度を 7 段階に分けて与えたところそれぞれの畑で、次のような収穫高を得た。肥料の濃度と収穫高との相関関係がない (相関係数 ρ = 0) といえるか。有意水準 0.05 で検定せよ。 (18 点) (H.5, 数学 2, 2)

\begin{matrix}肥料濃度 & X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 収穫高 & Y & 3 & 8 & 17 & 26 & 20 & 23 & 22 \end{matrix}

付表では数値が不足する場合、次の自由度 ϕ の t 分布の上側 ε 点: t_{ϕ}(ε) の表の数値を用いよ。

\begin{matrix}ϕ\ε & 0.100 & 0.050 & 0.025 \\ 1 & 3.078 & 6.314 & 12.706 \\ 2 & 1.886 & 2.920 & 4.303 \\ 3 & 1.638 & 2.353 & 3.182 \\ 4 & 1.533 & 2.132 & 2.776 \\ 5 & 1.476 & 2.015 & 2.571 \end{matrix}

以上

解答用紙 1(12 月 8 日分) \underline{氏名}

問題１

設問番号解答欄
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)

解答用紙 2(12 月 8 日分) \underline{氏名}

問題 2

設問番号解答欄
(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

解答用紙 3(12 月 8 日分) \underline{氏名}^{問題３ ((1), (2) の配分は各自行い、必要ならば裏も用いよ。 )}

6

解答用紙 4(12 月 8 日分) \underline{氏名}^{問題 4 (必要ならば裏も用いよ。 )}

7