模擬試験 (数学) 12 月 1 日

[問題 1 から問題 4 を通じて、必要であれば (付表) に記載された数値を用いよ。 ]

問題 1 次の各問のに入る答のみを、所定の解答用紙に記入せよ。 (32 点)

□ (1) 箱の中に赤球、青球、白球が合計 32 個入っている。今、箱の中の赤球、青球、白球の数を x, y, z とするとき、無作為に取り出された 2 個の球が同一色である確率が最低となるように x, y, z を定めた場合、その確率はである。 (H.4, 数学 1, 1 (1))

□ (2) B_{1}, B_{2}, B_{3} は互いに排反な事象で B = B_{1} ∪ B_{2} ∪ B_{3} とする。事象 A に対して

P (B_{i}) > 0, P (A|B_{i}) = 3q (定数). (i = 1, 2, 3 : 0 < q < \frac{1}{3})

が成り立つとき、 P (A|B) =  である。  (H.4, 数学 1, 1 (2))

□ (3) 確率変数 X を区間 [ 0 , 2π] の一様分布とするとき、確率変数 Y = sin X の確率密度関数は、

f(y) =  (−1 < y < 1) である。  (H.4, 数学 1, 1 (3))

□ (4) 確率変数 X_{1}, X_{2}, X_{3} が独立で、共に区間 [ 0 , 1 ] の一様分布に従うとき、 X_{1}, X_{2}, X_{3} のうち最も大きな値を半径とする円の面積の期待値はである。 (H.4, 数学 2, 1 (4))

□ (5) X は非負の整数値をとる確率変数で、

\begin{matrix}� & 0 < p ≡ P (X = 0) < 1 \\ � & P (X = k + n|X ≧ k) = P (X = n), (n = 0, 1, 2, …; k = 0, 1, 2, …) \end{matrix}

を満たすとき、 P (X = k) を p を用いて表わすと  (k = 0, 1, 2, …) となる。  (H.4, 数学 1, 1 (5))

□ (6) 確率変数 X, Y は互いに独立でそれぞれ次の確率密度関数をもつものとする。

f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{x}{α} exp(\frac{−x^{2}}{2α} ) & (x > 0) \\ 0 & (x ≦ 0) \end{matrix} g(x) = \{ \begin{matrix}\frac{y}{β} exp(\frac{−y^{2}}{2β} ) & (y > 0) \\ 0 & (y ≦ 0) \end{matrix}

α, β は定数とするとき、 P (\frac{X}{Y} ≦ 1) =  である。  (H.4, 数学 1, 2)

□ (7) 電話料金ははじめの 3 分以内は a 円、 3 分以上は 1 分増すごとに b 円追加されるものとする。 (1 分未満は切

り上げ。 ) 1 人の人の通話時間 X は平均 λ の指数分布に従うとして、その料金 Y の平均値はである。 (国沢著, 確率統計演習 1, p.78, 31)

□ (8) 大手予備校の模試で、数学の成績を 10 点きざみの度数分布表に整理して平均点を計算する。平均点の誤差が 0.1 点以内におさまる確率が 0.95 以上となるためには、受験者が名以上必要である。ただし、受験者数は十分大きいとし、中心極限定理を用いて求めよ。

(小寺著, 明解演習数理統計, p.96, 12.3 / cf. H.14, 数学, 1 (7))

問題 2 次の各問のに入る答のみを、所定の解答用紙に記入せよ。 (32 点)

□ (1) 確率分布が f(x|p) = p(1 − p)^{x} (x = 0, 1, 2, …, 0 < p < 1) で与えられている母集団からの大きさ n の標本を (x_{1}, ⋯, x_{n}) とするとき、この標本より求めた p の最尤推定量はである。 (H.4, 数学 2, 1 (1))

□ (2) 平均 μ、分散 σ^{2} を持つ母集団から、 2N − 1 個の標本変量 X_{1}, X_{2}, …, X_{2N−1} をとったとき、 cov(∑_{i=1}^{N} X_{i}, ∑_{j=N}^{2N−1} X_{j}) = である。ただし、 cov(X, Y) は確率変数 X, Y の共分散を表わすものとする。

(H.4, 数学 2, 1 (2))

□ (3) 箱の中に 24 個の玉が入っている、 H_{0}: 黄色 20 個, 緑 4 個、 H_{1}: 黄色 4 個, 緑 20 個のどちらかである。復元抽出法で 3 個玉を取り出し、第 1 種の誤りの確率 10%以下で H_{0} を検定する。次の３つの棄却域を定める方法のうち、最良と思われる方法の第 2 種の誤り確率は�である。 (H.4, 数学 2, 1 (3))

方法 1: 少なくとも 1 個が緑,  方法 2: 2 個以上が緑,  方法 3: 3 個とも緑。

□ (4) 「1」という札が 1 枚、「2」という札が 2 枚、「N」という札が N 枚の有限母集団から、 N 枚の標本をとるときの標本平均の分散はである。 (H.4, 数学 2, 1 (4))

□ (5) 母集団の確率密度関数が、一様分布

f(x|α) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{α} & (β − \frac{1}{2}α ≦ x ≦ β + \frac{1}{2}α, α > 0, α, β は未知) \\ 0 & (その他の領域) \end{matrix}

に従うとき、 n 個の標本変量 (X_{1}, …, X_{n}) によって母数 α を推定する。 α の最尤推定量を α̂ = α̂(X_{1}, …, X_{n}) とすれば、これは α は不偏推定量ではないが、 × α̂ は α の不偏推定量である。 (H.4, 数学 2, 1 (5))

□ (6) ある市におけるある月 (9 日間) の交通事故の発生件数は、次のとおりであった。

3, 0, 2, 1, 5, 2, 1, 1, 0

1 日あたりの交通事故の件数はポアソン分布に従うものとして、その件数の母平均を信頼係数 95%で精密法を用いて区間推定すると、信頼区間は ( , ) である。 (小数点以下第 4 位を四捨五入して小数第 3 位まで求めよ。 )

(国沢著, 確率統計演習 2, p.97, 15 / H.14, 数学, 2 (3))

□ (7) ある学校で 20 人の生徒について知能テストの点数と数学の得点との相関係数 r が |r| > となるとき、知能テストの点数と数学の点数が無関係であるという仮設は棄却される。ただし、各生徒の知能テストの点数および数学の点数は正規分布に従うものとし、有意水準は 0.05 で考えよ。 (小数点以下第 4 位を四捨五入して小数第 3 位まで求めよ。 )

(国沢著, 確率統計演習 2, p.260, 1 / H.14, 数学, 2 (6))

□ (8) 互いに独立な正規母集団 N(μ_{1}, 1)、 N(μ_{2}, 4) からの大きさがそれぞれ n_{1}, n_{2} なる独立な標本の標本平均\overline{X_{1}}, \overline{X_{2}} を用いて母平均の差 μ_{1} − μ_{2} の信頼区間を作る。 n_{1} + n_{2} = 50 とするとき、この信頼区間の幅を最小にするためには、 n_{1} = , n_{2} = とすればよい。

(H.15, 数学, 2 (2))

問題 3 毎日価格が変動するある商品がある。ある日の価格を P_{0} とし、その t 日後の価格を P_{t} (t = 1, 2) で表わすとき、以下の問に答えよ。 (18 点)

(1) P_{1}−P_{0} が標準正規分布 N(0, 1) に従うとする。また、 P_{1} が既知の状態で、 P_{2}−P_{1} は正規分布 N(k(P_{1}−P_{0}), 1) (k は正の定数) に従うとする。このとき、 P_{0} のみ既知の状態における、 P_{2} の確率密度関数を求めよ。

(2) P_{1} −P_{0} が区間 (−1, 1) 上の一様分布に従い、また、 P_{1} が既知の状態で、 P_{2} −P_{1} は区間 (k(P_{1} −P_{0})−1, k(P_{1} − P_{0}) + 1) (k は正の定数) 上の一様分布に従うとする。このとき、 P_{0} のみ既知の状態における、 P_{2} の確率密度関数を求めよ。 (H.8, 数学 1, 4)

問題 4 生まれたばかりの実験動物 15 匹中、 8 匹に飼料 A を与え、残りの 7 匹には飼料 B を与えて育成した。一定

期間を経た後に体重を計ったら、前者は

46.0, 46.2, 47.1, 45.0, 48.7, 47.6, 46.8, 48.6

であり、後者は

48.6, 49.0, 47.5, 51.0, 50.3, 49.0, 49.7

であった。飼料の違いによる影響があるといって良いか否かを有意水準 0.01 で検定せよ。 (18 点)

(H.4, 数学 2, 3)

付表では数値が不足する場合、次の自由度 ϕ の t 分布の上側 ε 点: t_{ϕ}(ε) の表の数値を用いよ。

\begin{matrix}ϕ\ε & 0.01 & 0.005 \\ 5 & 3.365 & 4.032 \\ 6 & 3.143 & 3.707 \\ 7 & 2.998 & 3.499 \\ 8 & 2.896 & 3.355 \\ 9 & 2.821 & 3.250 \\ 10 & 2.764 & 3.169 \\ 11 & 2.718 & 3.106 \\ 12 & 2.681 & 3.055 \\ 13 & 2.650 & 3.012 \\ 14 & 2.624 & 2.977 \\ 15 & 2.602 & 2.947 \end{matrix}

以上

解答用紙 1(12 月 1 日分) \underline{氏名}

問題１

設問番号解答欄
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)

解答用紙 2(12 月 1 日分) \underline{氏名}

問題 2

設問番号解答欄
(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

解答用紙 3(12 月 1 日分) \underline{氏名}^{問題３ ((1), (2) の配分は各自行い、必要ならば裏も用いよ。 )}

6

解答用紙 4(12 月 1 日分) \underline{氏名}^{問題 4 (必要ならば裏も用いよ。 )}

7