模擬試験 (数学) 11 月 24 日^{1}

[問題 1 から問題 4 を通じて、必要であれば (付表) に記載された数値を用いよ。 ]

問題 1 次の各問のに入る答のみを、所定の解答用紙に記入せよ。 (40 点)

□ (1) 確率変数 X は次の確率密度関数を持つ。

f(x) = \{ \begin{matrix}Kx^{2} exp(−x^{2}) & (x ≧ 0) \\ 0 & (x < 0) \end{matrix}

ただし、 K は正の定数である。このとき、 K = � , E[X] = �である。 (H.3, 数学 1, 1 (1))

□ (2) 確率変数 X, Y が独立で、共に正規分布 N(0, σ^{2}) に従うとき、 U = X/Y の確率密度関数は f(u) = である。 (H.3, 数学 1, 1 (2))

□ (3) ある製品を作る機械が 3 台あって、それを A, B, C とする。 A, B, C はそれぞれ全体の 20%, 30%, 50% を生産する。また A, B, C の各機械から生産される製品のうち 5%, 4%, 2% の割合で不良品を生ずることが経験的に知られている。いま、製品全体の中から 1 個を取り出したら不良品であった。その不良品が A の機械から生産されたものである確率はである。 (H.3, 数学 1, 1 (3))

□ (4) A, B, C の 3 者が次のルールで優勝を競う。 3 者の実力が同じであるとするとき、 A が優勝する確率はである。 (H.3, 数学 2, 1 (5))

(ルール) �初回には A と B が対戦し、 C は対戦が無い。
�{2 回目以降は直前回の対戦の勝者と直前に対戦の無かった者とが対戦し、直前回の対戦 \atop の勝者が勝った場合にはその者が優勝する。}
�優勝が決まるまで�の対戦を繰り返す。
□ (5) 確率変数 X が正規分布 N(0, σ^{2}) に従うとき、 E[|X|] =  である。  (H.3, 数学 1, 1 (6))

□ (6) 円周上に無作為に 3 点 A, B, C をとるとき、△ ABC が鋭角三角形になる確率はである。 (H.3, 数学 1, 1 (8))

□ (7) 2 個の不良品を含む 1 ダースの小型モーターがある。この 1 ダースのモーターが１つの木箱に詰められた場合は、その中からランダムに 2 個を抽出し、半ダースずつ 2 つの木箱に詰められた場合は、それぞれの箱から 1 つずつランダムに 2 個を抽出して検査するものとする。次の 3 つのケースのうち、最も不良品の発見される可能性が低いケースにおける不良品の発見される確率はである。 (H.3, 数学 2, 1 (9))

ケース 1. 1 ダースが 1 つの木箱に詰められる場合
ケース 2. {1 ダースが 2 つの木箱に詰められる場合で、それぞれの箱に 1 個ずつの不良品が入ってい \atop たとき}
ケース 3. 1 ダースが 2 つの木箱に詰められる場合で、一方の箱に 2 個の不良品が入っていたとき

□ (8) 任意の 3 つの実数を四捨五入して整数にした上で和をとるのと、和をとってから四捨五入して整数にする場合で数値が異なる確率はである。 (H.3, 数学 2, 1 (10))

1このノートは次の URL からダウンロード (dvi-file) できます。 http://www.math.u-ryukyu.ac.jp/˜ sugiura/

問題 2 次の各問のに入る答のみを、所定の解答用紙に記入せよ。 (40 点)

□ (1) X_{1}, …, X_{5} は区間 [0, l] 上の一様分布に従う母集団からの標本変量とする。 X_{(1)} ≦ ⋯ ≦ X_{(5)} は対応する順

序統計量とし、その標本範囲を R とするとき、 E[R^{n}] = E[(X_{(5)} − X_{(1)})^{n}] = である。 (H.3, 数学 2, 1 (1))

□ (2) 次の確率密度関数をもつ母集団からの n 個の標本変量 X_{1}, X_{2}, …, X_{n} を考える。

f(x; μ, σ) = \{ \begin{matrix}(1/σ) exp\{−(x − μ)/σ\} & (x ≧ μ) \\ 0 & (x < μ) \end{matrix}

ここに、 −∞ < μ < ∞, σ > 0 とする。 μ, σ ともに未知とするとき、 σ の最尤推定量はである。 (H.3, 数学 2, 1 (2))

□ (3) 母数 θ をもつ母集団からの統計量 X は次の確率密度関数にしたがう。

f(x) = \{ \begin{matrix}kx^{θ} & (0 ≦ x ≦ 1) \\ 0 & (x < 0 or x > 1) \end{matrix}

ここに、 k は定数である。 x > 0.9 の区間を棄却域として、仮設 H_{0} : θ = 1 が検定されるとき、第 1 種の誤りの起こる確率は�である。また、対立仮設が H_{0} : θ = 4 の場合に、第 2 種の誤りの起こる確率は�である。 (小数点以下第 3 位を四捨五入して小数第 2 位まで求めよ。 ) (H.3, 数学 2, 1 (3))

□ (4) ２つの正規母集団を考える。 1 つの母集団から標本数 10 の標本を取り出したところ、標本分散は 16 であった。もう 1 つの母集団から標本数 9 の標本を取りだしたところ、標本分散が少なくともより大きければ 2 つの母集団の分散は同じでないと言える。 (H.3, 数学 2, 1 (4)) (有意水準 5%の両側検定により、小数点以下第 2 位を四捨五入して小数第 1 位まで求めよ。 )

□ (5) ある種子の発芽する確率を知りたいという。いま、 5 粒の種子について実験したところ、 1 個が発芽したという。発芽する割合を信頼係数 95%で精密法を用いて区間推定すると、信頼区間は ( , ) である。 (小数点以下第 4 位を四捨五入して小数第 3 位まで求めよ。 ) (国沢著, 確率統計演習 2, p.80, 7)

□ (6) ある電気部品の寿命を調べたところ、次の通りであった。

732, 838, 915, 1211, 1355, 1420, 1638 寿命分布は指数分布に従うものとして、平均寿命の母平均を区間推定すると、信頼区間は ( , ) である。 (小数点以下第 2 位を四捨五入して小数第 1 位まで求めよ。 ) (国沢著, 確率統計演習 2, p.96, 13)

□ (7) 正規分布の分散の帰無仮説 H_{0} : σ^{2} = σ_{0}^{2} の有意水準 5%の片側検定において、帰無仮説で仮定した分散 σ_{0}^{2} が真の分散の 4 分の 1 以下であるときに、この帰無仮説 H_{0} が確率 95%以上で棄却されるためには、標本の大きさ n は以上であればよい。 (H.3, 数学 2, 2)

□ (8) ある工場において、原料中に含まれる A 成分の含有量 x とその原料 (国沢著, 確率統計演習 2, p.250, 2)

を用いて作った B 製品の含有量 y とを測定してたとろ、左の表のよ ; うなデータを得た。このデータから、 y の x に対する回帰直線を求 ; めると、 y =  x +  となる。 ; (小数点以下第 4 位を四捨五入して小数第 3 位まで求めよ。 ) \begin{aligned}& 平均値 & 標準偏差 & 相関係数 \\ x & 89.1250 & 4.3718 \\ & & & -0.9741 \\ y & 88.7500 & 2.2220 \end{aligned}

問題 3 (X_{n})_{n=1,2,...} は独立な確率変数列で、各 X_{k} は {1, 2, ⋯, l} 上の一様分布に従うとする:

P (X_{n} = i) = 1/l, i = 1, 2, …, l n = 1, 2, …,

このとき、 N = min{ n ≥ 1 ; {X_{1}, …, X_{n}} = {1, …, l} } (1, 2, ⋯, l のすべての番号が出るのに必要な時間)

の平均 E[N] と分散 V (N) を求めよ。  (10 点)  (クーポン収集家問題)
(ヒント) {k 個目の番号が出る時刻 N_{i} := min\{ n ≥ 1 ; #\{X_{1}, …, X_{n}\} = i \} に対して、 N_{i} − N_{i−1}, \atop i = 2, …, l の分布を調べよ。 (#A は集合 A の元の個数を表す。 )}

問題 4 (1) X が次の確率密度関数をもつ確率変数とする:

f(x) = \{ \begin{matrix}(1 + θ)x^{θ} & (0 < x < 1) \\ 0 & (x < 0 or x > 1) \end{matrix}

ただし、 θ > 0 は定数である。このとき、 Y = −2(θ + 1) log X の確率密度関数を調べ、その分布とその自由度を述べよ。

(2) X_{1}, ⋯, X_{n} は上記の確率密度関数をもつ分布からの無作為標本とする。このとき、帰無仮説 H_{0} : θ = θ_{0} に

対して対立仮設 H_{1} : θ = θ_{1} が与えられたとする。 θ_{1} > θ_{0} の場合に、有意水準 ε での最良棄却域を求めよ。 (10 点) (稲垣著, 数理統計学, p.152, 8.11)

以上

解答用紙 1(11 月 24 日分) \underline{氏名}

問題１

設問番号解答欄
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)

解答用紙 2(11 月 24 日分) \underline{氏名}

問題 2

設問番号解答欄
(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

解答用紙 3(11 月 24 日分) \underline{氏名}^{問題３ (必要ならば裏も用いよ。 )}

6

解答用紙 4(11 月 24 日分) \underline{氏名}

問題 4 (1)

(2) (必要ならば裏も用いよ。 )