生保数学 2 演習問題 解答 2003 年 11 月 27 日出題

1. _{∞}q_{xy}^{2} = ∫_{0}^{∞} _{t}p_{x}μ_{x+t}_{t}q_{y} dt, _{∞}q_{xyz}^{2} = ∫_{0}^{∞} _{t}p_{x}μ_{x+t}(_{t}p_{y}_{t}q_{z} +_{t}q_{y}_{t}p_{z}) dt, _{∞}q_{xyz}^{3} = ∫_{0}^{∞} _{t}p_{x}μ_{x+t}_{t}q\overline{yz} dt であるが、_{t}q\overline{yz} = _{t}q_{y}_{t}q_{z} = _{t}q_{y} −_{t}q_{y}_{t}p_{z} = _{t}q_{z} −_{t}p_{y}_{t}q_{z} = \{_{t}q_{y} +_{t}q_{y} − (_{t}p_{y}_{t}q_{z} +_{t}q_{y}_{t}p_{z})\}/2 より、 ∞q_{xyz}^{3} = (_{∞}q_{xy}^{2} +_{∞}q_{xz}^{2} −_{∞}q_{xyz}^{2})/2 = 0.35.

2. (ヒントの記号を用いる。 )

題意より、 Ā = Ā_{xyz}^{1} + 0.5Ā_{xyz}^{1} + 0.5Ā2 ; \begin{matrix}xyz \\ 1 \end{matrix} + 0.1ā_{xy|z} で ā_{xy|z} = ā_{z} − ā_{xyz} と、

利力および死力の数値より、 v^{t} = e^{−0.01t}, _{t}p_{x} = e^{−0.03t}, _{t}p′_{y} = e^{−0.02t}, _{t}p′′_{z} = e^{−0.01t} に注意すると^{1} Ā = ∫_{0}^{∞} v^{t}_{t}p_{x}μ_{x+t}_{t}p′_{y}_{t}p′′_{z} dt + 0.5 ∫_{0}^{∞} v^{t}_{t}p′_{y}μ′_{y+t}_{t}p_{x}_{t}p′′_{z} dt + 0.5 ∫_{0}^{∞} v^{t}_{t}p_{x}μ_{x+t}_{t}q′_{y}_{t}p′′_{z} dt

+ 0.1(∫_{0}^{∞} v^{t}_{t}p′′_{z} dt − ∫_{0}^{∞} v^{t}_{t}p_{x}_{t}p′_{y}_{t}p′′_{z} dt) = 0.5 ∫_{0}^{∞} e^{−0.07t}0.03 dt + 0.5 ∫_{0}^{∞} e^{−0.07t}0.02 dt + 0.5 ∫_{0}^{∞} e^{−0.05t}0.03 dt

+ 0.1(∫_{0}^{∞} e^{−0.02t} dt − ∫_{0}^{∞} e^{−0.07t} dt) = 198/35.

一方、 ā_{xz} = ∫_{0}^{∞} e^{−0.05t} dt = 20. よって、求める年払純保険料 P̄ = \frac{Ā}{ā_{xz}} = \frac{198/35}{20} = \frac{99}{350}.

3. q_{x}^{A} = q_{x}^{A∗} (1 − \frac{1}{2}q_{x}^{B∗} − \frac{1}{2}q_{x}^{C∗} + \frac{1}{3}q_{x}^{B∗}q_{x}^{C∗}) = 0.077, p_{x}^{∗} = (1 − q_{x}^{A∗})(1 − q_{x}^{B∗})(1 − q_{x}^{C∗}) = 0.9 · 0.8 · 0.7 より、 q_{x}^{A}/p_{x}^{∗} = 11/72 = 0.15277 · · ·. よって、\underline{0.1528}.

4. � q_{30}^{i} = \frac{d_{30}^{ii}}{l_{30}^{ii} + \frac{1}{2}i_{30}} = \frac{d_{30}^{ii}}{4, 600} より、 d_{30}^{ii} = \underline{460}.

� q_{31}^{aa} = d_{31}^{aa}/l_{31}^{aa} より d_{31}^{aa} = q_{31}^{aa} · l_{31}^{aa} = 3, 405. よって、 i_{31} = l_{31}^{aa} − d_{31}^{aa} − l_{32}^{aa} = \underline{1, 000}.

� l_{31}^{ii} = l_{30}^{ii} + i_{30} − d_{30}^{ii} = 4, 740. q_{31}^{i} = \frac{d_{31}^{ii}}{l_{31}^{ii} + \frac{1}{2}i_{31}} = \frac{d_{31}^{ii}}{5, 240} より d_{31}^{ii} = 524.

よって、 l_{32}^{ii} = l_{31}^{ii} + i_{31} − d_{31}^{ii} = \underline{5, 216}. �_{2}p_{30}^{i} = (1 − q_{30}^{i})(1 − q_{31}^{i}) = \underline{0.81}.

1死力の違いを明確にするため、妻の生存確率等には「′ 」を、子供の生存確率等には「′′ 」を付した。