解析学特論 II ^{1} 2004 年 2 月 2 日

§3.2 弱解とマルチンゲール問題

§3.1 では確率微分方程式についてリプシッツ条件の下、解の存在と一意性を証明した。これは、 Brown 運動 (B_{t}) が与えられたとき

dX_{t} = b(X_{t})dt + α(X_{t})dB_{t}  (3.1)

を満たす (X_{t}) という意味で、これを (3.1) の強解という (pathwise solution ともいう)。

一方、 Brown 運動を適当に見つけて (3.1) を満たす (X_{t}) を作ることができるとき、それを弱解という (solution in law ともいう)。弱解が一意であるとは (X_{t}) の (W^{d}, B(W^{d})), W^{d} = C([0, ∞), R^{d}), B(W^{d}) は W^{d} の位相的 Borel 集合族, 上の分布が一意的に定まることをいう。

以下、簡単のため α(t, x), b(t, x) は t に依存しないとして考える。すなわち、 α(x) = (α_{k}^{i}(x)), b(x) = (b_{i}(x)), i = 1, …, d, k = 1, …, N とし

a(x) = (a^{ij}(x)) = α(x)^{t}α(x), i.e. a^{ij}(x) = ∑_{k=1}^{N} α_{k}^{i}(x)α_{k}^{j}(x).

と定める。このとき、 Itô の公式より (X_{t}) が (3.1) の解ならば φ ∈ C_{b}^{2}(R^{d}) に対して

φ(X_{t}) − φ(X_{0}) = ∑_{i=1}^{d} ∑_{k=1}^{N} ∫_{0}^{t} \frac{∂φ}{∂x^{i}} (X_{s})α_{k}^{i}(X_{s})dB_{s}^{k} + ∫_{0}^{t} Aφ(X_{s})ds

ただし、 A は次で定義される拡散作用素である:

Aφ(x) = \frac{1}{2} ∑_{i,j=1}^{d} a^{ij}(x)\frac{∂^{2}φ}{∂x^{i}∂x^{j}} (x) + ∑_{i=1}^{d} b^{i}(x)\frac{∂φ}{∂x^{i}} (x).

これより、 M_{t}(φ) ≡ φ(X_{t}) − φ(X_{0}) − ∫_{0}^{t} Aφ(X_{s})ds はマルチンゲールとなる。この性質を確率微分方程式の定義に採用して導かれたのが D.W.Stroock と S.R.S.Varadhan によるマルチンゲール問題である。

定義 3.4. (W^{d}, B(W^{d})) 上の確率測度 P が出発点 x ∈ R^{d} をもつ A-マルチンゲール問題の解であるとは、次の (i), (ii) を満たすときにいう。

(i) P (w_{0} = x) = 1.

(ii) 任意の φ ∈ C_{b}^{2}(R^{d}) に対し

M_{t}(φ) = M_{t}(w, φ) ≡ φ(w_{t}) − φ(w_{0}) − ∫_{0}^{t} Aφ(w_{s})ds  (3.10)

が P について (F_{t})-マルチンゲールである。ここで、 (F_{t}) は自然なフィルトレーションを考えるものとする。

任意の x ∈ R^{d} に対し A-マルチンゲール問題の解が一意的に存在するとき適切 (well-posed) であるという。

以下、知られている結果を箇条書きする。

•1 弱解の分布は A-マルチンゲール問題の解である。 (これはすでに示した。 ) 逆に A-マルチンゲール問題が解 P をもてば、 P を分布とするような確率微分方程式 (3.1) の弱解が存在する。

•2 弱解の一意性と A-マルチンゲール問題の一意性は同値。

•3 係数 α(x), b(x) が連続関数で (例えば) 有界であれば、 (3.1) は弱解をもつ。 (cf . 常微分方程式の Perron の定理に対応する。ここでの証明も折れ線近似を用いる。 )

1ここにある記述は舟木直久著「確率微分方程式」岩波講座現代数学の基礎による。授業担当者が付け足した部分もある。 (間違いがあればそれはそこから発生している。 )

•4 (山田-渡辺の定理) 強解が一意的ならば弱解も一意的である。

注意: 逆は成立しない。田中の例: dX_{t} = sgn(X_{t})dB_{t}, X_{0} = 0 が知られている。 •5 (Stroock-Varadhan の定理) a(x) = (a^{ij}(x)) が有界な連続関数で、一様に正定値 (このと

き A を一様に楕円型という)

∃γ > 0 such that ∑_{i,j} a^{ij}(x)ξ_{i}ξ_{j} ≥ γ|ξ|^{2}, ∀x, ξ ∈ R^{d},

かつ b(x) が有界な Borel 可測な関数なら、弱解も一意的に存在する。

例 3.5. (Ω, F, P) 上の d 次元連続確率過程 (X_{t}) が与えられ

φ(X_{t}) − φ(X_{0}) − \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} Δφ(X_{u})du

が任意の φ ∈ C_{b}^{2}(R^{d}) について (F_{t})-マルチンゲールであれば、 (X_{t}) は Brown 運動である。

実際 φ(x) = e^{iξ·x}, ξ ∈ R^{b} ととると e^{iξ·X_{t}} + \frac{|ξ|^{2}}{2} ∫_{0}^{t} e^{iξ·X_{s}}ds は (F_{t})-マルチンゲールである。したがって、

\frac{d}{dt}E[e^{iξ·X_{t}}|F_{s}] = −\frac{|ξ|^{2}}{2} E[e^{iξ·X_{t}}|F_{s}], t ≥ s > 0.

この微分方程式を解いて E[e^{iξ·X_{t}}|F_{s}] = e^{iξ·X_{s}−|ξ|^{2}(t−s)/2}, これを書きかえれば E[e^{iξ·(X_{t}−X_{s})}|F_{s}] = e^{−|ξ|^{2}(t−s)/2} となるので (X_{t}) は Brown 運動である。 □

注意: (i) マルチンゲールによる Brown 運動の特徴づけ (Lévy の定理) は、この例で特に φ(x) = x^{i}, x^{i}x^{j}, ∀i, j のときだけマルチンゲール性を確かめれば、 (X_{t}) が Brown 運動であることを主張している。

(ii) 例 3.5 は、特に A = \frac{1}{2}Δ のときの、マルチンゲール問題の解の一意性を意味している。

次に確率微分方程式の解の強マルコフ性について調べる。

(F_{t}) は (W^{d}, B(W^{d})) の自然なフィルトレーションとし、 σ : W^{d} → [0, ∞) に対しシフト作用素 θ_{σ} : W^{d} → W^{d} を (θ_{σ}w)_{t} = w_{t+σ(w)}, t ≥ 0 で定める。

定理 3.6. A-マルチンゲール問題が適切であるとする。その一意解を {P_{x}}_{x∈R^{d}} とし、 σ を有界な (F_{t})-stopping time とする。このとき、任意の x ∈ R^{d} と Y = Y (w): W^{d} 上の有界 B(W^{d})- 可測関数に対して

E^{P_{x}}[Y ∘ θ_{σ}|F_{σ}] = E^{P_{wσ}} [Y], P_{x}-a.s. w.

ただし、 E^{P} [ ] は P に関する期待値を表すものとする。

証明: P_{x}( · |F_{σ})(w) を P_{x} の F_{σ} の下での正則条件付確率とする。特に、任意の w ∈ W^{d} を固定すると、これは (W^{d}, B(W^{d})) 上の確率測度となることに注意する。

主張を示すためには P̃_{w} = P_{x}( · |F_{σ})(w) ∘ θ_{σ}^{−1} とおくとき、

EP̃_{w}[Y] = E^{P_{x}}[Y ∘ θ_{σ}|F_{σ}]

であるから、 P̃_{w} = P_{w_{σ}}, P_{x}-a.s. w を示せばよい。さらに、このためには A-マルチンゲール問題が適切であることから、

(i) P̃_{w}(w_{0} = w_{σ}) = 1, (ii) 任意の φ ∈ C_{b}^{2}(R^{d}) に対し (3.10) で定めた M_{t}(φ) が P̃_{w}-マルチンゲールであること

を示せばよい。 P̃_{w} の定義より、 P̃_{w}(w_{0} = w_{σ}) = EP̃_{w}[1_{{w_{σ}}}(w_{0})] より

P̃_{w}(w_{0} = w_{σ}) = E^{P_{x}}[1_{{w_{σ}}}((θ_{σ}w)_{0})|F_{σ}] = E^{P_{x}}[1_{{w_{σ}}}(w_{σ})|F_{σ}] = 1

となり、 (i) は成立する。一方、任意の t ≥ s ≥ 0 と A ∈ F_{s} に対し

EP̃_{w}[M_{t}(φ) − M_{s}(φ), A] = EP̃_{w}[{M_{t}(w, φ) − M_{s}(w, φ)}1_{A}(w)]
= E^{P_{x}}[{M_{t}(θ_{σ}w, φ) − M_{s}(θ_{σ}w, φ)}1_{A}(θ_{σ}w)|F_{σ}]
= E^{P_{x}}[{M_{t+σ}(φ) − M_{s+σ}(φ)}1_{A}(θ_{σ}w)|F_{σ}]
= E^{P_{x}}[E^{P_{x}}[M_{t+σ}(φ) − M_{s+σ}(φ)|F_{s+σ}]1_{A}(θ_{σ}w)|F_{σ}]
= 0.

ここで、 3 行目の等号は

M_{t}(θ_{σ}w, φ) − M_{s}(θ_{σ}w, φ) = φ((θ_{σ}w)_{t}) − φ((θ_{σ}w)_{s}) − ∫_{s}^{t} Aφ((θ_{σ}w)_{u})du
= φ(w_{t+σ(w)}) − φ(w_{s+σ(w)}) − ∫_{s+σ(w)}^{t+σ(w)} Aφ(w_{u})du
= M_{t+σ(w)}(w, φ) − M_{s+σ(w)}(w, φ)

を、次の等号は 1_{A}(θ_{σ}(w)) が F_{s+σ}-可測であることを、最後の等号は Doob の任意抽出定理を用いた。よって、 (ii) も示されたので証明は完了した。 □

§3.3 Girsanov-丸山の定理

確率空間 (Ω, F, P) 上にフィルトレーション (F_{t}) と d 次元 Brown 運動 B_{t} = (B_{t}^{i})_{1≤i≤d} が与えられたとする。任意の T > 0 は固定して d 次元確率過程 β_{t} = (β_{t}^{i})_{1≤i≤d}, t ∈ [0, T] が与えられ、各成分は β^{i} ∈ L^{2}(F_{t}) で、さらに、

sup_{ω} ∫_{0}^{T} β_{t}^{i}(ω)^{2}dt < ∞,  1 ≤ i ≤ d  (3.11)

を満たしているとする。このとき、

M_{t} = exp{∑_{i=1}^{d} ∫_{0}^{t} β_{s}^{i}dB_{s}^{i} − ∫_{0}^{t} |β_{s}|^{2}ds}

とおくと、次が成立する。

定理 3.7. (Girsanov-丸山の定理)

(i) (M_{t})_{0≤t≤T} は 2 乗可積分な連続 (F_{t})-マルチンゲールである。 (ii) P̂(A) = E[M_{T} , A], A ∈ F_{T} により P̂ を定めると、 P̂ は (Ω, F_{T}) 上の確率測度であり

B̂_{t} = B_{t} − ∫_{0}^{t} β_{s}ds, t ∈ [0, T]

は、確率空間 (Ω, F_{T} , P̂) 上の d 次元 (F_{t})-Brown 運動となる。

証明: (ここでは、証明のあらすじを述べる。本来は可積分性などの議論が必要である。 ) φ(x) = e^{x} に Itô の公式を適応し

dM_{t} = M_{t}\{∑_{i} β_{t}^{i}dB_{t}^{i} − \frac{1}{2}|β_{t}|^{2}dt\} + \frac{1}{2}M_{t}|β_{t}|^{2}dt = ∑_{i} M_{t}β_{t}^{i}dB_{t}^{i}

となるから (i) は示された。 (厳密には φ(x) = e^{x} は非有界であるので Itô の公式が使えるか自明でない、 2 乗可積分性も示していない。これらは条件 (3.11) から正当化される。 )

特に、 M_{0} = 1, M_{T} > 0 より P̂ は (Ω, F_{T}) 上の確率測度である。また、 φ ∈ C_{b}^{2}(R^{d}) に対し Itô の公式より

d{M_{t}φ(B̂_{t})} = M_{t}{dφ(B̂_{t})} + φ(B̂_{t})dM_{t} + dM_{t}d{φ(B̂_{t})}

= ∑ M_{t} \frac{∂φ}{∂x^{i}} (B̂_{t})\{dB_{t}^{i} − β_{t}^{i}dt\} + \frac{1}{2}M_{t}Δφ(B̂_{t})dt + ∑ M_{t}β_{t}^{i}φ(B̂_{t})dB_{t}^{i} + ∑ M_{t}β_{t}^{i} \frac{∂φ}{∂x^{i}} (B̂_{t})dt.

したがって、 P -マルチンゲール N_{t} = φ(0) + ∑ ∫_{0}^{t} M_{u}\{\frac{∂φ}{∂x^{i}} (B̂_{u}) + β_{u}^{i}φ(B̂_{u})\}dB_{u}^{i} を用いて

M_{t}φ(B̂_{t}) = N_{t} + \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} M_{s}Δφ(B̂_{s})ds

と表せる。これと (M_{t}) 自身が P -マルチンゲールであるから、任意の A ∈ F_{s} に対し

EP̂[φ(B̂_{t}), A] = E^{P} [M_{T} φ(B̂_{t}), A] = E^{P} [E[M_{t}|F_{t}]φ(B̂_{t}), A] = E^{P} [M_{t}φ(B̂_{t}), A]
= E^{P} [N_{t} + \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} M_{u}Δφ(B̂_{u})du, A]
= E^{P} [N_{s}, A] + \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} E^{P} [M_{u}Δφ(B̂_{u}), A]du
= E^{P} [M_{s}φ(B̂_{s}), A] + \frac{1}{2} ∫_{s}^{t} E^{P} [M_{u}Δφ(B̂_{u}), A]du
= EP̂[φ(B̂_{s}), A] + EP̂[\frac{1}{2} ∫_{s}^{t} Δφ(B̂_{u})du, A],  t ≥ s ≥ 0.

ゆえに、 φ(B̂_{t}) − φ(B̂_{0}) − \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} Δφ(B̂_{u})du は (P̂, F_{t})-マルチンゲールであることがわかり例 3.5 より (B̂_{t}) は P̂ の下で Brown 運動である。 □

系 3.8. (B_{t})_{0≤t≤T} を d 次元 Brown 運動とし、その W_{T}^{d} = C([0, T], R^{d}) 上の分布を P で表す。一方 (B_{t} + ∫_{0}^{t} β_{s}ds)_{0≤t≤T} の W_{T}^{d} 上の分布を Q で表すとする。このとき、 Q は P に関し絶対連続で、その Radon-Nikodym 密度関数は

\frac{dQ}{dP}(w) = exp\{∑_{i=1}^{d} ∫_{0}^{T} β_{s}^{i}dw_{s}^{i} − \frac{1}{2} ∫_{0}^{T} |β_{s}|^{2}ds\}, w ∈ W_{T}^{d}  (3.12)

で与えられる。測度 P の下で w = (w_{t})_{0≤t≤T} は Brown 運動であり、右辺の確率積分は P に下で定義されていることに注意する。 ((3.12) 式を Cameron-Martin の公式という。 )

§3.4 局所時間

1次元Brown運動(B_{t})とa ∈ Rに対し(|B_{t}−a|)は劣マルチンゲールだから、 |B_{t}−a| = M_{t}^{a}+L_{t}^{a} と Doob-Meyer 分解される。ここで、 M_{t}^{a} は連続マルチンゲール, L_{t}^{a} は連続増加過程である。ここでは、この L_{t}^{a}, 局所時間 (local time) という, の性質を見る。証明は省略する。

定理 3.9. (田中の公式) 任意の a ∈ R に対して、連続増加過程 L_{t}^{a} が存在し

|B_{t} − a| = |B_{0} − a| + ∫_{0}^{t} sgn(B_{s} − a)dB_{s} + L_{t}^{a}.  (3.13)

(3.13) は φ(x) = |x−a| に Itô の公式を適用して (厳密にはそれを C^{2} 級関数で近似することで) 得られる。よって、 φ′′(x) = 2δ_{a}(x) (δ_{a} は Dirac の δ-測度) に注意して、形式的に L_{t}^{a} = ∫_{0}^{t} δ_{a}(B_{s})ds と表される。実際、次のようなことが知られている。

•1 L_{t}^{a} は B_{t} = a となる t においてのみ増加する。すなわち、次が成立する。

∫_{0}^{t} 1_{{B_{s}≠a}}dL_{s}^{a} = 0 a.s.

•2 局所時間は次のような表示をもつ:

L_{t}^{a} = lim_{ε→0} \frac{1}{2ε} ∫_{0}^{t} 1_{[a−ε,a+ε]}(B_{s})ds, a.s.

Brown 運動の点 a のみの滞在時間は 0 であるが、 •2 の式はその近傍 [a − ε, a + ε] に滞在する時間を考え、それを (2ε)^{−1} だけスケール変換してとった極限が L_{t}^{a} であること意味している。