解析学特論 II レポート問題 2004 年 1 月 26 日

以下の問を 2 問以上解きレポートとして提出せよ。 ●提出期限 2 月 16 日 (月) 午後 3 時 ●提出場所 数理科学科事務室内 杉浦のメールボックス

1. ブラウン運動 (B_{t}) に対して点 a ∈ R への到達時刻 σ_{{a}} = inf{ t > 0 | B_{t} = a } の確率密度関数が\frac{1}{\sqrt{2πt^{3}}} e^{−a^{2}/(2t)}1_{(0,∞)}(t) で与えられること、すなわち、

P (σ_{\{a\}} ≤ t) = ∫_{0}^{t} \frac{1}{\sqrt{2πs^{3}}} e^{− \frac{a^{2}}{2s}} ds t > 0

となることを示せ。

2. [0, T] 上の有界可測関数 f(s) に対し

f_{ε}(t) = \frac{1}{ε} ∫_{(t−ε)∨0}^{t} f(s) ds, 0 ≤ t ≤ T

とおくと f_{ε}(t) は [0, T] 上で連続であることを示せ。ここで、 s ∨ 0 = max{s, 0} とする。

3. f(t) を [0, T] 上の有界可測関数とする。このとき、 [0, T] 上の連続関数の列 {g_{n}(t)} が存

在して

lim_{n→∞} ∫_{0}^{T} |f(t) − g_{n}(t)| dt = 0

が存在する。 (このことは L^{1}[0, T] 上で C[0, T] は稠密であることを意味している。 ) この事実を用いて、 [0, T] 上の有界可測関数 f(s) に対し f_{ε}(t) を問 2 のように定めれば

lim_{ε→0} ∫_{0}^{T} |f_{ε}(t) − f(t)| dt = 0

となることを示せ。

4. 自然数 p に対して、 Itô の公式を用いることにより E[B_{t}^{2p}] の値を求めよ。

5. S_{t} = S_{0} exp \{αB_{t} + (β − \frac{α^{2}}{2} )t\}, t ≥ 0, が確率微分方程式

dS_{t} = αS_{t}dB_{t} + βS_{t}dt

の解であることを Itô の公式を用いることにより確認せよ。ただし、 S_{0}, α, β はすべて定数とする。ヒント：確率微分方程式の定義より (S_{t}) が

S_{t} = S_{0} + ∫_{0}^{t} αS_{s} dB_{s} + ∫_{0}^{t} βS_{s} ds, t ≥ 0

を満たすことを示せばよい。