基礎ゼミ 1 組,2 組 2003 年 7 月 14 日

71. 次の関数を積分せよ。

(1) \frac{1}{(x^{2} + 1)^{3/2}}  (2) (arcsin x)^{2}  (3) \frac{3x^{5}}{x^{3} − 1}  (4) \frac{cos x}{sin x(1 + cos x)}
(5) \frac{1}{1 + 3 sin^{2} x}  (6) \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}  (7) \sqrt{\frac{2 − x}{x − 1}}  (8) \frac{\sqrt[4]{x}}{1 + \sqrt{x}}  (9) \frac{\sqrt{x^{3} + 1}}{x}

72. 次の漸化式を導け。

(1) I_{n} = ∫ cos^{n} x dx に関して、 I_{n} = \frac{1}{n} cos^{n−1} x sin x + \frac{n − 1}{n}I_{n−2} (n ≠ 0)

(2) I_{n} = ∫ x^{n} cos x dx に関して、 I_{n} = nx^{n−1} cos x + x^{n} sin x − n(n − 1)I_{n−2}.

73. 教科書 p.109 定理 5 を用いて関数 F (x) = ∫_{a}^{b} e^{t}f(x − t) dt について F′(x) を計算せよ。ただし、関数 f は連続、 a, b (a < b) は定数とする。

74. 2 次以下の (実係数) 多項式全体の集合 V は通常の加法、スカラー乗法に関して (抽象的) ベクトル空間になる。 {1, x, x^{2}} がその一つの基底となる。次の演算 S, T はこのベクトル空間の 1 次変換になるが、上記の基底に関する S, T の行列をそれぞれ求めよ。 (cf . 教科書 p.83, 4).

(1) S : f(x) ⟼ ∫_{−1}^{1}(x − t)^{2}f(t) dt (2) T : f(x) ⟼ e^{x} \frac{d}{dx} (e^{−x}f(x))

75. 次の行列の階数を求めよ。

(1) (\begin{matrix}1 & 0 & 2 & 2 & −1 \\ 1 & 2 & 0 & 2 & 1 \\ −1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 1 & 4 & 2 \end{matrix})  (2) (\begin{matrix}1 & 2 & 1 & −2 \\ −1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & −2 \\ 1 & −1 & 0 & 3 \end{matrix})  (3) (\begin{matrix}4 & −7 & 6 & 1 \\ 1 & 0 & 5 & 2 \\ −1 & 5 & 5 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{matrix})

(4) (\begin{matrix}4 & 1 & −1 & 1 & 2 \\ 5 & −1 & −1 & 2 & 4 \\ 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 3 & 4 & 1 \end{matrix}) (5) (\begin{matrix}2 & 3 & 2 & 1 \\ 4 & 2 & −1 & 1 \\ −2 & −1 & −1 & −2 \\ 2 & 1 & 2 & 3 \end{matrix})

76. (m, n) 行列 A, B に対し

rank(A + B) ≤ rank A + rank B

が成り立つことを示せ。また、等号の成立する例、しない例をそれぞれ一つづつ挙げよ。