基礎ゼミ 1 組,2 組 2003 年 7 月 7 日

65. f(x) を問題 50 (1) のそれとする。自然数 n に対し 3n 次の多項式 P_{n}(t) が存在して f^{(n)}(x) = P_{n}(\frac{1}{x})f(x) (x ≠ 0), f^{(n)}(0) = 0 となることを示し、 f(x) は無限回微分可能であるが、 Maclaurin 展開できないことを確認せよ。

66. lim_{x→∞} \{ \frac{x}{\frac{1}{x} − sin \frac{1}{x}} − P (x)\} = 0 を満たす多項式 P (x) を求めよ。

67. 次の極限を求めよ。

(1) lim_{x→∞} (\frac{π}{2} − Arctan x)^{\frac{1}{x}}  (2) lim_{x→∞} (\frac{1}{tan^{2} x} − \frac{1}{x^{2}} )  (3) lim_{x→π/2−0} \frac{log (\frac{π}{2} − x)}{tan x}

(4) lim_{x→∞} \{x − x^{2} log (1 + \frac{1}{x})\} (5) lim_{x→∞} log x log (1 + \frac{1}{x})

68. V = M_{3}(R) を 3^{2} 次元の数ベクトル空間と見なすとき、次の行列 A_{i} (i = 1, 2) と交換可能な行列の集合 W_{i} = {X ∈ V |XA_{i} = A_{i}X} が V の部分空間になることを示し、その次元を求めよ。ただし、 a, b, c はすべて異なる実数とする。

(1) A_{1} = (\begin{matrix}a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{matrix}) (2) A_{2} = (\begin{matrix}a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & b \end{matrix})

69. R^{4} の部分空間 W_{1}, W_{2} が次のものであるとき、 W_{1} + W_{2} の次元および基底を求め、 R^{4} = W_{1} ⊕ W_{2} であるか調べよ。

(1) W_{1} = {x_{1} + x_{2} − x_{3} − 2x_{4} = 0, −x_{1} + 2x_{2} + x_{3} − x_{4} = 0}, W_{2} = {x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} − 3x_{4} = 0, −4x_{1} + 2x_{2} − 3x_{3} + 2x_{4} = 0}.

(2) W_{1} = {x_{1} + x_{2} + 2x_{3} + 3x_{4} = 0, 3x_{2} + 3x_{3} − 2x_{4} = 0}, W_{2} = {x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} + 2x_{4} = 0, x_{1} + 3x_{2} + 4x_{3} + 2x_{4} = 0}.

70. V, W_{1}, W_{2} を次のものとするとき、 a) V = W_{1} + W_{2} か、 b) その場合 V = W_{1} ⊕ W_{2} か調べよ。

(1) V: 3 次以下の実係数多項式全体, W_{1} = {f ∈ V; ∫_{−1}^{1} f(x) dx = 0} , W_{2} = { 定数関数}

(2) V = R^{4}, W_{1} = {x_{3} = x_{4} = 0}, W_{2} = {x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0, x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} + 4x_{4} = 0}

(3) V = M_{n}(R), W_{1} = { 上三角行列}, W_{2} = { 下三角行列}

(4) V = M_{n}(R), W_{1} = { 上三角行列}, W_{2} = { 交代行列}