基礎ゼミ 1 組,2 組 2003 年 6 月 30 日

60. 平均値の定理を用いて次を示せ。

(1) Arcsin x + Arccos x = \frac{π}{2} (−1 ≤ x ≤ 1) (2) Arctan x + Arctan \frac{1}{x} = \{ \begin{matrix}π/2 & (x > 0) \\ −π/2 & (x < 0) \end{matrix}

61. 平均値の定理または Taylor の定理を用いて次を示せ。

(1) f(x) が (0, ∞) で微分可能のとき、 lim_{x→∞} f′(x) = α ならば lim_{x→∞}{f(x + 1) − f(x)} = α.

(2) lim_{h→0} \frac{f(a + h) − 2f(a) + f(a − h)}{h^{2}} = f′′(a). ただし、 f(x) が点 a を含む区間で 2 回微分可

能で f′′(x) が連続とする。

(3) f(x) が点 a を含む区間で 3 回微分可能で f′′′(x) が連続とする。 f′′′(a) ≠ 0 ならば、 h に対し θ を f(a + h) = f(a) + f′(a) + hf′(a) + \frac{1}{2!}f′′(a + θh) で定めるとき、 lim_{h→0} θ = \frac{1}{3}.

62. [a, b] で f′′(x) が連続で、 (a, b) で f′′′(x) が連続であるとき、次を証明せよ。

(1) f(b) = f(a) + \frac{1}{2}(b − a)\{f′(a) + f′(b)\} − \frac{1}{12}(b − a)^{3}f′′′(c) なる c ∈ (a, b) が存在する。

(2) f(b) = f(a) + (b − a)f′ (\frac{a + b}{2}) + \frac{1}{24}(b − a)^{3}f′′′(c) なる c ∈ (a, b) が存在する。

63. Taylor の公式を用いて、 e が無理数であることを示せ。 (ヒント： e = p/(q!) と表し、もし q ≥ 2 なら e/{(q + 1)!} < 1/q! であることから矛盾を導け。 )

64. ベクトル空間 V の基底 E = {e_{1}, …, e_{n}}, F = {f_{1}, …, f_{n}} に対し、 f_{j} = ∑_{i=1}^{n} p_{ij}e_{i} (1 ≤

j ≤ n) を満たす行列 P = (p_{ij}) を底の変換 E → F 行列という。次で与えた、 V, E, F に対し底の変換 E → F 行列を求めよ。

(1) V = R^{3}, E = \{(\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ −2 \end{matrix})\}, F = \{(\begin{matrix}3 \\ −1 \\ 4 \end{matrix}) , (\begin{matrix}4 \\ 1 \\ 8 \end{matrix}) , (\begin{matrix}3 \\ −2 \\ 6 \end{matrix})\}.

(2) V = \{x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0\} ⊂ R^{3}, E = \{(\begin{matrix}1 \\ 1 \\ −2 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 2 \\ −3 \end{matrix})\}, F = \{(\begin{matrix}1 \\ 0 \\ −1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 2 \\ −2 \end{matrix})\}.

(3) V = {x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0} ⊂ R^{4},

E = \{(\begin{matrix}1 \\ 1 \\ −1 \\ −1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}2 \\ 1 \\ −1 \\ −2 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ −1 \end{matrix})\}, F = \{(\begin{matrix}2 \\ 1 \\ 0 \\ −3 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ −1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ −2 \\ −1 \\ 2 \end{matrix})\}

(4) V: 2 次以下の実係数多項式全体, E = {3 − 4x − x^{2}, −2 + 2x + x^{2}, −2 + 3x + x^{2}}, F = {1 + x + 2x^{2}, 2 − x − x^{2}, 1 + 2x + 3x^{2}}