基礎ゼミ 1 組,2 組 2003 年 6 月 16 日

53. 次の関数の n 次導関数を求めよ。 (ただし、 a, b は定数。 )

(1) \frac{1}{x^{2} + 3x + 2} (2) e^{x} cos x (3) sin^{3} x (4) x^{n−1} log x (5) x^{n−1}e^{1/x}

54. 次の媒介変数表示の関数から d^{2}y/dx^{2} を求めよ。

(1) x = a (t + \frac{1}{t}) , y = a (t − \frac{1}{t}) (2) x = a cos t, y = b sin t

55. y = arctan x に対し、\frac{d^{n}y}{dx^{n}} = (n − 1)! cos^{n} y sin (ny + \frac{nπ}{2} ) (n = 1, 2, …) を示せ。 56. y = arctan x のとき、次を示せ。

(1) (1 + x^{2})f^{(n+1)}(x) + 2nxf^{(n)}(x) + n(n − 1)f^{(n−1)}(x) = 0

(2) f^{(2m)}(0) = 0, f^{(2m+1)}(x) = (−1)^{m}(2m)! ((1) を用いてとけ。 )

57. H_{n}(x) = (−1)^{n}e^{x^{2}/2} \frac{d^{n}}{dx^{n}} (e^{−x^{2}/2}) に対し、以下を示せ。

(1) H_{n+1}(x) = xH_{n}(x) − nH_{n−1}(x)

(これより、 H_{n}(x) が n 次多項式であることがわかる。これを Hermite 多項式と呼ぶ。 )

(2) H′_{n}(x) = nH_{n−1}(x)

(3) H′′_{n}(x) − xH′_{n}(x) + nH_{n}(x) = 0 (Hermite の微分方程式)

58. f(x) は微分可能とする。このとき、方程式 f(x) = 0 の隣り合う 2 解の間には方程式 f′(x) = 0 は実根が少なくとも 1 つもつことを Rolle の定理より示せ。

59. 以下の問に答えよ。

(1) (m, n) 実行列 A に対し次が R^{m} または R^{n} の部分ベクトル空間であることを示せ。 (a) Im(A) = { Ax | x ∈ R^{n} } (A の像) (b) Ker(A) = { x ∈ R^{n} | Ax = o } (A の核)

(2) (m, n) 実行列 A の n コの縦ベクトルの中の 1 次独立な元の個数を rank A で表す。このとき、 (a) dim Im(A) = rank A, (b) dim Ker(A) = n − rank A を示せ。

(3) R^{4} の部分空間 W_{1} = \{(\begin{matrix}2 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}3 \\ −1 \\ 1 \\ 5 \end{matrix})\}, W_{2} = \{(\begin{matrix}−1 \\ 4 \\ 0 \\ −5 \end{matrix}) , (\begin{matrix}3 \\ 8 \\ 1 \\ −1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \end{matrix})\} に対し、

dim(W_{1} ∩ W_{2}), dim(W_{1} + W_{2}) を求めよ。