基礎ゼミ 1 組,2 組 2003 年 6 月 9 日

48. (1) R 上の連続な関数 f(x) が lim_{x→∞} f(x) = lim_{x→−∞} f(x) = ∞ を満たせば f(x) は最小値をもつことを示せ。

(2) R 上の連続な関数 f(x) が lim_{x→∞} f(x) = lim_{x→−∞} f(x) = 0 を満たし、かつ、 f(a) > 0 となる a ∈ R が存在するとする。このとき、 f(x) は最大値をもつことを示せ。

49. 次の極限を求めよ。ただし、 a ≠ 0 とする。

(1) lim_{x→∞} (cos \frac{a}{x})^{x^{2}}  (2) lim_{x→0} (\frac{sin ax}{x})^{1/x^{2}}  (3) lim_{x→0} (\frac{tan x}{x})^{1/x^{2}}

50. 次の関数について、 f′_{+}(0), f′_{−}(0), f′(0) が存在するか。存在すればそれを求めよ。

(1) f(x) = \{ \begin{matrix}e^{−1/x^{2}} & (x ≠ 0) \\ 0 & (x = 0) \end{matrix} (2) f(x) = \{ \begin{matrix}1 − \frac{sin x}{x} & (x ≠ 0) \\ 0 & (x = 0) \end{matrix}

(3) f(x) = \{ \begin{matrix}\sqrt{2x + 1} & (x ≥ 0) \\ ax^{2} + bx + 1 & (x < 0) \end{matrix} (ただし、 a, b は定数。 )

51. 次の関数の導関数を求めよ。^{1}

(1) arccos(sin x)  (2) arcsin(cos x)  (3) arctan x + arctan \frac{1}{x}

(4) arcsin(2x\sqrt{1 − x^{2}}) (5) arctan \sqrt{\frac{1 − cos x}{1 + cos x}}

52. 以下の問に答えよ。

(1) R^{n} のベクトル a, b, c が一次独立ならば、 a + b, b + c, a + c も一次独立であることを示せ。また、 a + b, b + c, a − c はどうか調べよ。

(2) R^{3} の部分ベクトル空間 W_{1} : 3x_{1} + 2x_{2} + 4x_{3} = 0, W_{2} : x_{1} + x_{2} + 2x_{3} = 0 を考える。 W_{1}, W_{2} の基底をそれぞれ一組求めよ。また、 W_{1} + W_{2} および W_{1} ∩ W_{2} を求めよ。

(3) R^{3} の原点を通る平面上に 2 組の基底 a_{1}, a_{2} および b_{1}, b_{2} をとる。 b_{1} = c_{11}a_{1} + c_{12}a_{2},

b_{2} = c_{21}a_{1} + c_{22}a_{2} ち表すとき、行列( \begin{matrix}c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{matrix} ) は逆行列をもつことを示せ。

(4) R^{3} 上で各ベクトルを平面 x + y + z = 0 に関して対称の位置に写す。この変換を行列で表せ。

1教科書の記号と異なり、 sin^{−1}, cos^{−1}, tan^{−1} をそれぞれ arcsin, arccos, arctan と表記する。問題 45 も同様。