基礎ゼミ 1 組,2 組 2003 年 6 月 2 日

43. 次の関数の定義域および連続性を調べ、グラフをかけ。

f(x) = lim_{x→∞} (x + \frac{x}{1 + x} + \frac{x}{(1 + x)^{2}} + ⋯ + \frac{x}{(1 + x)^{n}} )

44. (1) 区間 I において f(x) も g(x) も連続とする。有理数 x に対して f(x) = g(x) が成り立つとき、 I 上のすべての点 x に対しても f(x) = g(x) が成り立つことを示せ。

(2) f が、すべての x, y ∈ R に対し f(x + y) = f(x) + f(y) を満たしかつ連続ならば、 f(x) = f(1)x (x ∈ R) となることを示せ。

注意 (2) で f が連続でない場合、 f(x + y) = f(x) + f(y) を満たしかつ f(x) = f(1)x を満たさない関数 f を構成できる。

45. 次の等式を示せ。

(1) arcsin \frac{1}{\sqrt{5}} + arcsin \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{π}{2} (2) 2 arctan \frac{1}{3} + arctan \frac{1}{7} = \frac{π}{4}

46. (1) R^{2} のベクトル(\begin{matrix}−1 \\ 1 \end{matrix}) を(\begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix}) へ、(\begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix}) を(\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}) へ移す行列 A を求めよ。

(2) R^{2} 上で各ベクトルを π/3 だけ原点のまわりに回転し、次いで直線 y = x に関して対称の位置に写す。この変換を行列で表せ。

(3) R^{2} 上で各ベクトルを π/4 だけ原点のまわりに回転し、次いで直線 y = 2x に関して対称の位置に写す。この変換を行列で表せ。

(4) R^{3} のベクトル(\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) を(\begin{matrix}2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) へ、(\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) を(\begin{matrix}1 \\ −1 \\ 0 \end{matrix}) へ、(\begin{matrix}3 \\ −2 \\ 1 \end{matrix}) を(\begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) へ移す行列を求

めよ。

47. (m, n) 行列 A に対し A の像を Im(A) = { Ax | x ∈ K^{n} } で、 A の核を Ker(A) = { x ∈ K^{n} | Ax = o } で定める。次の行列 A の像と核を求めよ。ただし、 K = R として解けばよい。

(1) A = (\begin{matrix}1 & −1 \\ 2 & −2 \end{matrix})  (2) A = (\begin{matrix}1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{matrix})  (3) A = (\begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix})