基礎ゼミ 1 組,2 組 2003 年 5 月 26 日

35. (1) 関数 f(x) が点 x = x_{0} で連続であれば、 |f(x)| も点 x = x_{0} で連続であることを示せ。

(2) 関数 f(x), g(x) がともに点 x = x_{0} で連続であれば、 max{f(x), g(x)} も点 x = x_{0} で連続であることを示せ。

36. 次の関数の連続性を調べよ。

(1) f(x) = \{ \begin{matrix}sin \frac{1}{x} & (x ≠ 0) \\ 0 & (x = 0) \end{matrix} (2) f(x) = \{ \begin{matrix}x sin \frac{1}{x} & (x ≠ 0) \\ 0 & (x = 0) \end{matrix}

37. n が奇数のとき方程式 x^{n} + a_{1}x^{n−1} + ⋯ + a_{n−1}x + a_{n} = 0 は少なくとも一つの実数解を持つことを示せ。

38. R 上の連続関数 f(x) が次の条件 (∗) を満たせば、 y = f(x) のグラフは直線 y = x と必ず

交わることを示せ。

(∗) |f(x)| ≤ a|x| + b

ただし、 0 < a < 1, b > 0 は定数とする。

39. (0, ∞) での方程式 x tan x = 1 の解について次を示せ。

(1) 区間 (nπ, xπ + π/2) (n = 0, 1, 2, …) に解が一つずつある。

(2) (nπ, xπ + π/2) にある解を x_{n} = nπ + α_{n} とおくと {α_{n}} は次を満たす。

(a) \frac{π}{2} > α_{0} > α_{1} > ⋯ > α_{n} > ⋯ (b) lim_{n→∞} α_{n} = 0

40. 区間 (0, 1] において、最大値も最小値もとらない連続関数の例をあげよ。

41. ベクトル空間 V の元 a_{1},a_{2}, …, a_{m} に対し c_{1}a_{1} + c_{2}a_{2} + ⋯ + c_{m}a_{m} = o を満たす c_{1}, c_{2}, …, c_{m} ∈ K が c_{1} = c_{2} = ⋯ = c_{m} = 0 以外存在しないとき、 a_{1}, a_{2}, …, a_{m} は K 上で線形独立、そうでないとき線形従属という。ここで、 o は V の零元、 K は R または C を表すものとする。次の三つのベクトルが C 上で線形独立か調べよ。

(1) (\begin{matrix}1 \\ 2 \\ −1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 3 \\ −2 \end{matrix}) (2) (\begin{matrix}1 \\ −1 \\ −1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}3 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) (3) (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) , (\begin{matrix}2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ −1 \end{matrix})

42. 行列 A が A^{2} = O を満たせば、 E + A は正則であることを示せ。