基礎ゼミ 1 組,2 組 2003 年 5 月 19 日

29. r ≠ 1 のとき等比級数の公式 ∑_{k=0}^{n} r^{k} = \frac{1 − r^{n+1}}{1 − r} の両辺を r について微分することにより、

∑_{k=1}^{n} kr^{k−1} = \frac{1 − (n + 1)r^{n} + nr^{n+1}}{(1 − r)^{2}} を示せ。また、 ∑_{k=1}^{n} k^{2}r^{k−1} はどうなるか考察せよ。

30. ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k + 1)(k + 2)(k + 3)} = \frac{1}{3} \{\frac{1}{6} − \frac{1}{(n + 1)(n + 2)(n + 3)}\} を示せ。

また、一般に自然数 p に対し ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k + 1)(k + 2) ⋯ (k + p)} がどうなるか考察せよ。

31. 数列 {a_{n}} に対し次の定数 c, 0 ≤ c < 1, の存在を仮定する。

∀n ≥ 2 に対し |a_{n+1} − a_{n}| ≤ c|a_{n} − a_{n−1}|

このとき、 {a_{n}} が Cauchy 列であることを証明せよ。

32. 次の数列 {a_{n}} が Cauchy 列であることを示し lim_{n→∞} a_{n} を求めよ。

(1) a_{1} = 1, a_{n+1} = 1 + \frac{1}{a_{n} + 1}  (n ∈ N)
(2) a_{1} ≥ 0, a_{n+1} = \sqrt{a_{n} + 1} (n ∈ N)

(3) α > 0, β > 0, α + β = 1, a_{n} = αa_{n−1} + βa_{n−2} (n ≥ 3) (ヒント： a_{n} + βa_{n−1} = a_{n−1} + βa_{n−2} を用いよ)

33. 次の級数の収束する x の範囲とその和を求めよ。

(1) ∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{n}}{a^{n+1}} (a > 0) (2) ∑_{n=1}^{∞}(4^{n} − 2^{n})x^{n−1} (3) ∑_{n=1}^{∞} nx^{n−1}

34. 次の空間 V が R 上の線形空間であるか調べよ。

(1) V = { x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) ; 3x_{1} + 2x_{2} + 4x_{3} = 0 }
(2) V = { x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) ; 3x_{1} + 2x_{2} + 4x_{3} = 1 }

(3) V は [ 0 , 1 ] 上の連続関数 f(x) で f(0) = 0 を満たすもの全体

(4) V は 2 次正方行列 A でその行列式が 0 となるもの全体

(5) V は 2 次正方行列 A = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) で a + d = 0 となるもの全体