基礎ゼミ 1 組,2 組 2003 年 5 月 12 日

22. 2 次正方行列 A = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) に対して A^{2} − (tr A)A + (det A)E = 0 を示せ。但し、 tr A = a + d (行列 A のトレース), det A は A の行列式, E は単位行列を表す。

23. つぎの行列の n 乗を求めよ。

(1) ( \begin{matrix}a & b \\ c & −a \end{matrix})  (2) ( \begin{matrix}a & b \\ b & a \end{matrix})  (3) ( \begin{matrix}a & b \\ 0 & d \end{matrix})  (4) ( \begin{matrix}a & b & c \\ 0 & a & d \\ 0 & 0 & a \end{matrix})

ヒント： (1) は問題 22 を用いよ。 (2),(3) は n = 2, 3, … の場合を計算し答えを予想し帰納法を用いよ。 (4) については行列を A とし、 B = A − aE とすると B^{3} = O. aE と B が交換可能であることを用いよ。

24. 次の極限値について存在すればその値を求め、存在しなければその理由を述べよ。

(1) lim_{x→∞} sin x  (2) lim_{x→0} \frac{(1 + x)^{1/4} − 1}{(1 + 2x)^{1/3} − (1 − 2x)^{1/3}}  (3) lim_{x→π/2} \frac{sin(cos x)}{x − \frac{π}{2}}
(4) lim_{x→1} \frac{tan(x^{2} − 1)}{sin(x − 1)}  (5) lim_{x→0}(1 − 2x + x^{2})^{1/x}  (6) lim_{x→∞} (1 − \frac{4}{x + 2x^{2}} )^{x}
(7) lim_{x→−0} \frac{[x]}{x}  (8) lim_{x→+0} \frac{[x]}{x}  (9) lim_{x→1+0} \frac{x^{2} + x − 2}{|x − 1|}  (10) lim_{x→1−0} \frac{x^{2} + x − 2}{|x − 1|}

(11) lim_{x→∞} (cos \sqrt{x + 1} − cos \sqrt{x}) (12) lim_{x→−∞} x (x + \sqrt{x^{2} + 1})

25. lim_{x→0} \frac{(1 + x)^{−1/2} − (1 − ax)}{x^{2}} が極限をもつように a を定め、極限を求めよ。

26. 次の極限を求めよ。但し、 0 < a < b < c とする。

(1) lim_{x→∞} (a^{x} + b^{x} + c^{x})^{1/x} (2) lim_{x→−∞} (a^{x} + b^{x} + c^{x})^{1/x}

27. 実数 x に対し lim_{m→∞} { lim_{n→∞}(cos m!πx)^{n}} を求めよ。

28. f(x) = \{ \begin{matrix}x & (x は有理数) \\ 0 & (x は無理数) \end{matrix} とおくと、 f(x) は x = 0 でのみ連続で、 x ≠ 0 なる点 x では

不連続であることを示せ。注教科書の演習問題も解いて発表してください。