基礎ゼミ 1 組,2 組 2003 年 4 月 21 日

6. 数列 {a_{n}} が α に収束するとき次を示せ。

(1) n_{1} < n_{2} < … < n_{k} < … が自然数の増加列のとき {a_{n_{k}}} を {a_{n}} の部分列という。 {a_{n}} の部分列 {a_{n_{k}}} に対し lim_{k→∞} a_{n_{k}} = α を示せ。

(2) lim_{n→∞} |a_{n}| = |α| を示せ。 (ヒント： 2 (2) を用いよ。 )

(3) a_{n} > 0 (n ≥ 1) のとき lim_{n→∞} \sqrt{a_{n}} = \sqrt{α} を示せ。

7. 数列 {a_{n}} が ∞ に発散するとき、 {a_{n}} の部分列 {a_{n_{k}}} も ∞ に発散することを示せ。 8. 数列 {a_{n}} に対し、 lim_{n→∞} a_{2n} = α かつ lim_{n→∞} a_{2n−1} = α を満たせば、 lim_{n→∞} a_{n} = α となるこ

とを示せ。

9. 一般項が次の式で与えられる数列の極限値を求めよ。

(1) \frac{\sqrt{n^{3} + n + 1} − \sqrt{n^{3} − n + 1}}{\sqrt{n + 1} − \sqrt{n}} (2) \frac{cos nθ}{n} (θ は定数)

(3) \frac{1}{n^{3}} \{1 · 2 + 2 · 3 + ⋯ + n · (n + 1)\}  (4) (\frac{n}{1 + n})^{n}  (5) (1 + \frac{1}{n^{2}} )^{n}
(6) \frac{a^{n}}{n!} (a ∈ R)  (7) \frac{n!}{n^{n}}  (8) (2^{n} + 3^{n})^{\frac{1}{n}}  (9) \frac{1}{n} (\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + ⋯ + \frac{1}{n})

10. a_{1} = 2, a_{n+1} = 3\sqrt{a_{n}} によって数列 \{a_{n}\} を定める。

(1) 0 < a_{n} < 9 を示せ。 (2) {a_{n}} が単調増加であることを示せ。

(3) lim_{n→∞} a_{n} を求めよ。 (ヒント：「有界な単調数列は収束する」ことを用いよ。 )

11. a_{1} = 1, a_{n+1} = \sqrt{2 + a_{n}} によって数列 \{a_{n}\} を定める。

(1) 0 < a_{n} < 2 を示せ。 (2) {a_{n}} が単調増加であることを示せ。

(3) lim_{n→∞} a_{n} を求めよ。 (ヒント：「有界な単調数列は収束する」ことを用いよ。 )

12. a_{n+1} = \frac{1}{3} (a_{n}^{2} + 2) によって定義される数列 \{a_{n}\} を考える。

(1) 0 < a_{1} < 1 のとき {a_{n}} が上に有界な単調増加数列であることを示し lim_{n→∞} a_{n} = 1 を示せ。 (2) a_{1} > 1 の場合どうなるか考察せよ。 (ヒント： 1 < a_{1} < 2, a_{1} > 2 と分けて考えよ。 ) 注教科書の演習問題も解いて発表してください。