基礎ゼミ 1 組,2 組 2003 年 4 月 14 日

1. 次の不等式を満たす x の範囲を字数直線上に図示せよ。

(1) |x − 1| ≤ 3 (2) |x − 1| ≥ 2 かつ |x| < 5

2. (1) a, b ∈ R に対し |a + b| ≤ |a| + |b| を示せ。

(2) 上の不等式から||a| − |b|| ≤ |a ± b| ≤ |a| + |b| を示せ。

(3) a ∈ R, M > 0 に対し、 |x − a| ≤ M ならば |x| ≤ M + |a| となることを証明せよ。

3. 次の集合はどうような集合か。 (例) ⋃_{n=1}^{∞} [ 0 , 1 − \frac{1}{n} ] (解: [0, 1), 証明は授業中に与える。 )

(1) ⋃_{n=1}^{∞} [ 1 , 3 − \frac{1}{n} ]  (2) ⋃_{n=1}^{∞} [ \frac{1}{n} , 1 ]  (3) ⋂_{n=1}^{∞} [ −\frac{1}{n} , 1 ]
(4) ⋂_{n=1}^{∞} ( −\frac{1}{n} , 1 )  (5) ⋃_{n=1}^{∞} [ \frac{2}{n} , n ]  (6) ⋂_{n=1}^{∞} ( 0 , \frac{1}{n} ]

4. 次の集合 A に対し、 sup A, inf A, max A, min A があればそれを求めなければその理由を述べよ。

(1) A = \{ x ∈ R | − 1 < x ≤ 2 \} (2) A = \{ x ∈ R | |x − \sqrt{2}| ≤ \sqrt{2} \}

(3) A = \{ x ∈ Q | |x − \sqrt{2}| ≤ \sqrt{2} \} (4) A = \{ \frac{1}{n} | n ∈ N \}

(5) A = \{ (−1)^{n+1} + (−\frac{1}{n})^{n} | n ∈ N \} (6) A = \{ n sin \frac{1}{n} | n ∈ N \}

5. A を開集合 (0, ∞) に含まれる空でない部分集合とし

B = \{ \frac{1}{x} | x ∈ A \}

とおく。このとき、

sup B = \frac{1}{inf A}, inf B = \frac{1}{sup A}

を証明せよ。ただし、\frac{1}{0} = ∞, \frac{1}{∞} = 0 と約束する。注教科書の演習問題も解いて発表してください。