微分積分学 AD II, 数学序論演習 II テスト 5 回目出題日 2003 年 2 月 4 日

• 解答用紙は裏面も使用してください。名前と学籍番号は提出するすべての解答用紙に記入してください。

1. 次の重積分を計算せよ。

(1) ∫∫∫_{V} xyz dx dy dz  ( V : 0 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 1 )
(2) ∫∫∫_{V} \frac{dx dy dz}{(1 + x + y + z)^{2}}  ( V : x + y + z ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 )
(3) ∫∫∫_{V} (x^{2} + y^{2} + z^{2})^{2} dx dy dz  ( V : x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ 1, z ≥ 0 )
(4) ∫∫∫∫_{V} dx dy dz dw

( V : 0 ≤ x + y ≤ 1, 0 ≤ y + z ≤ 2, 0 ≤ x + z ≤ 3, 0 ≤ x + w ≤ 4 )

2. 球 x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ 1 と円柱 x^{2} + y^{2} ≤ x の共通部分の体積 V を求めよ。

3. 次を計算せよ。

(1) 螺線 (らせん): x = a cos θ, y = a sin θ, z = hθ (a, h 正定数, 0 ≤ θ ≤ 2π) の長さ L を求めよ。

(2) ベクトル場 A = (−y, x, z) の螺線 C : r(θ) = (a cos θ, a sin θ, hθ) 0 ≤ θ ≤ 2π, (a, h > 0) に沿う線積分 ∫_{C} A · dr を求めよ。

(3) 円周 C : x^{2} + y^{2} = 1 (向きは反時計回りとする) に対し線積分 ∫_{C} y dx + x dy を求めよ。

(4) 円柱面 x^{2} + y^{2} = 1 の円柱面 x^{2} + z^{2} = 1 の内部にある部分の表面積 S を求めよ。

(5) 半球 S : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1, z ≥ 0 に対し面積分 ∫∫_{S} z dS を求めよ。

(6) ベクトル場 A = (x^{2}, y^{2}, z^{2}), 半球 S : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1, z ≥ 0 とその外向きの単位

法線ベクトル n に対し面積分 ∫∫_{S} A · n dS を求めよ。ヒント: 定義に従って重積分に書き下し極座標変換せよ。

それを計算するとき ∫_{0}^{2π} sin^{3} θ dθ = ∫_{0}^{2π} cos^{3} θ dθ = 0 に注意せよ。

連絡 2 月 7 日 (金)15:00 から答案用紙を返却するので、返却を希望する者は理学部複合棟 412 室まで受け取りに来ること。