微分積分学 AD II, 数学序論演習 II テスト 4 回目出題日 2003 年 1 月 10 日

• 解答用紙は裏面も使用してください。名前と学籍番号は提出するすべての解答用紙に記入してください。

1. xy-平面の正方形 U = \{(x, y)|0 ≤ x, y ≤ 1\} を写像\{ \begin{matrix}u = 2x − y \\ v = x − 3y \end{matrix} で写してでき

る uv-平面の図形を D とする。この D を図示し、その面積を求めよ。また、この変換が単射 (一対一) であることを示せ。

2. 次の重積分の値を求めよ。 (括弧内は D を表す。 ) ただし、広義積分については D の近似列を明記せよ。

(1) ∫∫_{D} y dx dy  ( y − \frac{1}{4}x^{2} ≥ 0, y − x ≤ 0, x ≥ 1 )
(2) ∫∫_{D} xy^{2} dx dy  (x^{2} + y^{2} − 2y ≤ 0, x ≥ 0)
(3) ∫∫_{D} \frac{dx dy}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}  (0 ≤ y ≤ x ≤ 1, x > 0)
(4) ∫∫_{D}(x + y)^{4} cos(x − y) dx dy  (0 ≤ x + y ≤ π, 0 ≤ x − y ≤ \frac{π}{2} )

(5) ∫∫_{D} dx dy ((x^{2} + y^{2})^{2} ≤ x^{2} − y^{2}, x ≥ 0) (ヒント: 極座標を用いよ。 )

(6) ∫∫_{D} \frac{dx dy}{(1 + x^{2} + y^{2})^{3}} ( D = R^{2} )

3. 積分の順序を交換することによって、次の逐次積分を計算せよ。

∫_{0}^{π/2} dx∫_{2x/π}^{1} cos \frac{x}{y} dy

4. f(t) = t ∫_{0}^{t^{2}} cos {(1 − x)^{2}} dx のとき、 ∫_{0}^{1} f(t) dt の値を求めよ。

5. 次の図形 D の面積を求めよ。

D = { (x, y) | x^{2} − 2xy + 2y^{2} ≤ 4}