微分積分学 AD II, 数学序論演習 II テスト 3 回目出題日 2001 年 12 月 10 日

• 解答用紙は裏面も使用してください。名前と学籍番号は提出するすべての解答用紙に記入してください。

1. F (x, y) = x^{3} − 3xy + y^{3} = 0 に対し陰関数の定理を用いて、その陰関数 y = f(x) ついて f′(x), f′′(x) を求めよ。更に、 y = f(x) の極値を求めよ。

2. F (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z + Arcsin(xyz) = 0 の定める陰関数 z = f(x, y) について、偏導関数 f_{x}(x, y), f_{y}(x, y) を求めよ。

3. 関数 xy + yz + zx = 2 の表す曲面の点 (1, 0, 2) における接平面を求めよ。また、この接平面に関して点 (6, 1, 3) と対称な点の座標を求めよ。

4. 関数 f(x, y) = x^{4} + y^{4} − 2x^{2} + 4xy − 2y^{2} について、その極値を求めよ。

5. F (x, y) = x^{2} + y^{2} + xy − 1 = 0 のもとで、 f(x, y) = x の極値を求めよ。 (注) E = {(x, y)|x^{2} + y^{2} + xy = 1} が有界閉集合であり、最大値・最小値をとりそこで

極値になることは証明なしに用いてもかまわない。

6. xy-平面の正方形 U = \{(x, y)|0 ≤ x, y ≤ 1\} は、写像\{ \begin{matrix}u = 2x + y \\ v = x − 2y \end{matrix} によって、

uv-平面のどんな集合に写されるか図示し、その面積を求めよ。また、この変換が単射 (一対一) であることを示せ。

7. x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ のとき、 Jacobian

\frac{∂(x, y, z)}{∂(r, θ, φ)} ≡ | \begin{matrix}x_{r} & x_{θ} & x_{φ} \\ y_{r} & y_{θ} & y_{φ} \\ z_{r} & z_{θ} & z_{φ} \end{matrix} |

を求めよ。