微分積分学 AD II, 数学序論演習 II テスト 2 回目出題日 2001 年 11 月 26 日

• 解答用紙は裏面も使用してください。名前と学籍番号は提出するすべての解答用紙に記入してください。

1. 集合 E = { (x, y) | x^{2} + y^{2} < 1} が開集合になることを示せ。ヒント : 集合 E が開集合であるとは任意の点 p = (a, b) ∈ E が E の内点、即ち、

「∀p ∈ E, ∃ε > 0 such that U_{ε}(p) ⊂ E」を示せばよい。ここで、 U_{ε}(p) は点 p の ε 近傍 U_{ε}(p) = { (x, y) | ∥(x, y) − (a, b)∥ < ε } を表す。

2. 次の関数の原点における極限値が存在するか。するならばそれを求めよ。

(1) f(x, y) = \frac{sin(xy)}{x^{2} + y^{2}} (2) f(x, y) = xy log(x^{2} + y^{2})

3. 次の関数の偏導関数を求めよ。

(1) f(x, y) = Arcsin \frac{y}{x} (2) f(x, y, z) = x^{\frac{1}{x+y+z}}

4. 関数 f(x, y) = \{ \begin{matrix}xy Arctan |\frac{y}{x}| & x ≠ 0 \\ 0 & x = 0 \end{matrix} について f_{xy}(0, 0), f_{yx}(0, 0) を求めよ。

5. 関数 f(x, y) = \{ \begin{matrix}xy sin \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} & (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{matrix} の原点における全微分可能性を

調べよ。また、 C^{1} 級であるか調べよ。

6. x = u cos α − v sin α, y = u sin α + v cos α (α は定数) のとき、 z = f(x, y) に対して次が成り立つことを示せ。但し、 f(x, y) は C^{2} 級とする。

(1) z_{x}^{2} + z_{y}^{2} = z_{u}^{2} + z_{v}^{2} (2) z_{xx} + z_{yy} = z_{uu} + z_{vv}

7. 関数 f(x, y) = e^{x} cos y について (0, 0) の近くで n = 3 における Taylor の公式を導け。また、このとき誤差の限界が (|x| + |y|)^{3}e^{|x|}/6 であることを示せ。

• 11 月 29 日 (金) は休講とし、次回の講義は 12 月 3 日 (火) とします。