微分積分学 AD II, 数学序論演習 II テスト 1 回目出題日 2001 年 10 月 25 日

1. 次の正項級数の収束・発散を調べよ。

(1) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n!}{n^{n}} (2) ∑_{n=1}^{∞} (1 − cos \frac{1}{n})

2. 級数 ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n−1} log (1 + \frac{1}{n^{α}} ) が条件収束する α の範囲を求めよ。

3. ∑_{n=1}^{∞} a_{n} が絶対収束ならば、 ∑_{n=1}^{∞} a_{n}^{2} は絶対収束することを示せ。また、逆は成立しないことを例をあげて示せ。

4. f_{n}(x) = n^{p}xe^{−nx} とする。このとき、関数列 {f_{n}(x)} が I = [0, 1] 上で一様収束するような p の範囲を決定せよ。

5. 次で関数項級数が I 上で一様収束するか調べよ。

(1) ∑_{n=1}^{∞} \frac{nx^{3}}{n^{3} + x^{3}} , I = [0, 1] (2) ∑_{n=1}^{∞} x(1 − x)^{n}, I = [0, 1]

6. 次のべき級数の収束半径を求めよ。

(1) ∑_{n=1}^{∞} (1 − \frac{2}{n})^{n^{2}} x^{n}  (2) ∑_{n=1}^{∞} (1 + \frac{1}{2} + ⋯ + \frac{1}{n}) x^{n}  (3) ∑_{n=1}^{∞} n^{n}x^{2^{n}}

7. 等比級数の和の式\frac{1}{1 + x} = ∑_{n=0}^{∞}(−x)^{n} を用いて

log(1 + x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n} x^{n} (−1 < x ≤ 1)

を導け。 (これより、 log 2 = 1 − \frac{1}{2} + \frac{1}{3} − \frac{1}{4} + ⋯ がわかる。 )

8. f(x) が区間 [0, 1] で連続のとき、 lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} f(x)n(1 − x)^{n−1} dx = f(0) を示せ。ヒント : 積分範囲を２つに分けるとよい。 f(x) の一様連続性に注意せよ。