微分積分学 AD II, 数学序論演習 II 2003 年 1 月 10 日の試験の解答の要点^{1}

1 与えられた写像は線形変換で特に Jacobian \frac{∂(u,v)}{∂(x,y)} = −5 ≠ 0 より単射である。よって、平行四辺形は平行四辺形に写されるので頂点の写る先を求めるればよい。それぞれ (0, 0) → (0, 0), (1, 0) → (2, 1), (1, 1) → (1, −2), (0, 1) → (−1, −3) となるから (0, 0), (2, 1), (1, −2), (−1, −3) を頂点とする平行四辺形の内部及び周に移される。 (図は略す。 ) 面積: |D| = ∫∫_{D} dudv = ∫∫_{U} |\frac{∂(u,v)}{∂(x,y)} | dxdy = 5.

2 D を図示することを (特に (1), (2), (3) について) 強く勧めるのだが、ここでは略す。

(1) (与式)= ∫_{1}^{4} dx ∫_{x^{2}/4}^{x} ydy = ∫_{1}^{4} \{\frac{x^{2}}{2} − \frac{1}{2}(\frac{x^{2}}{4} )^{2}\} dx = ⋯ = \frac{657}{160}.

(2) D = \{(x, y)|0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ \sqrt{2y − y^{2}}\} より

(与式)= ∫_{0}^{2} dy ∫_{0}^{√\overline{2y−y^{2}}} xy^{2}dy = ∫_{0}^{2} \frac{1}{2}y^{2}(2y − y^{2})dy = ⋯ = \frac{4}{5}.

(3) K_{n} = \{(x, y)|\frac{1}{n} ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x\} とすると \{K_{n}\} は D の近似列で

(与式)= lim_{n→∞} ∫∫_{K_{n}} \frac{dx dy}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} = lim_{n→∞} ∫ 2_{\frac{1}{n}} dx ∫_{0}^{x} \frac{dy}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}

= lim_{n→∞} ∫ 2_{\frac{1}{n}} [log(y + \sqrt{x^{2} + y^{2}})]_{0}^{x} dx = ⋯ = log(1 + \sqrt{2}).

(4) u = x + y, v = x − y とおくと、この変換により D は Ω = \{(u, v)|0 ≤ u ≤ π, 0 ≤ v ≤ \frac{π}{2}\} に一対一で写される。 x = (u + v)/2, y = (u − v)/2 より\frac{∂(x,y)}{∂(u,v)} = −\frac{1}{2} だから

(与式)= ∫∫_{Ω} u^{4} cos v |\frac{∂(x, y)}{∂(u, v)}| dudv = \frac{1}{2} ∫_{0}^{π} du ∫0^{\frac{π}{2}} u^{4} cos vdv = \frac{1}{2} ∫_{0}^{π} u^{4}du = \frac{π^{5}}{10}.

(5) x = r cos θ, y = r sin θ に対し、 x ≥ 0 より |θ| ≤ \frac{π}{2}, (x^{2} + y^{2})^{2} ≤ x^{2} − y^{2} に代入して r^{4} ≤ r^{2} cos 2θ, i.e., r^{2} ≤ cos 2θ. cos 2θ ≥ 0 より −\frac{π}{4} ≤ θ ≤ \frac{π}{4} を得る。よって、 Ω = \{(r, θ)| r^{2} ≤ cos 2θ, −\frac{π}{4} ≤ θ ≤ \frac{π}{4}\} が D に面積 0 の集合を除いて一対一で写される。

ところで\frac{∂(x, y)}{∂(r, θ)} = r より (与式) = ∫∫_{Ω} rdr dθ = ∫_{−π/4}^{π/4} dθ∫_{0}^{√\overline{cos 2θ}} r dr = ⋯ = \frac{1}{2} を得る.

(6) K_{n} = \{(x, y)|x^{2} +y^{2} ≤ n^{2}\} とすると \{K_{n}\} は R^{2} の近似列で (与式)= lim_{n→∞} ∫∫_{K_{n}} \frac{dx dy}{(1+x^{2}+y^{2})^{3}} .

x = r cos θ, y = r sin θ とすると Ω_{n} = {(r, θ)|0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ n} は K_{n} に面積 0 の集合を除いて一対一で写され、 ∫∫_{K_{n}} \frac{dx dy}{(1+x^{2}+y^{2})^{3}} = ∫∫_{Ω_{n}} \frac{rdr dθ}{(1+r^{2})^{3}} = ∫_{0}^{2π} dθ∫_{0}^{n} \frac{rdr}{(1+r^{2})^{3}} = ⋯ =

\frac{π}{2} (1 − \frac{1}{(1+n^{2})^{2}} ) となるから、 (与式)= \frac{π}{2} を得る。

3 D = \{(x, y)|0 ≤ x ≤ \frac{π}{2}, \frac{2x}{π} ≤ y ≤ 1\} = \{(x, y)|0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ \frac{π}{2}y\} より

(与式)= ∫∫_{D} cos \frac{x}{y}dxdy = ∫_{0}^{1} dy ∫_{0}^{\frac{π}{2} y} cos \frac{x}{y}dx = ∫_{0}^{1} [y sin \frac{x}{y}]_{0}^{\frac{π}{2} y} dy = ⋯ = \frac{1}{2}.

4 D = \{(t, x)|0 ≤ t ≤ 1, 0 ≤ x ≤ t^{2}\} = \{(t, x)|0 ≤ x ≤ 1, \sqrt{x} ≤ t ≤ 1\} より

∫_{0}^{1} f(t)dt = ∫∫_{D} t cos(1−x)^{2}dtdx = ∫_{0}^{1} dx ∫_{√\overline{x}}^{1} t cos(1−x)^{2}dt = ∫_{0}^{1} \frac{1}{2}(1−x) cos(1−x)^{2}dx =^{(∗)}

∫_{0}^{1} \frac{1}{4} cos udu = \frac{sin 1}{4}. (∗ では u = (1 − x)^{2} と置換した。 )

5 D = {(x, y)|(x − y)^{2} + y^{2} ≤ 4} より x − y = r cos θ, y = r sin θ とおくと Ω = {(r, θ)|0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 2} は D に面積 0 の集合を除いて一対一で写され、 x = r cos θ + r sin θ より\frac{∂(x,y)}{∂(r,θ)} = r だから |D| = ∫∫_{U} rdrdθ = ∫_{0}^{2} rdr ∫_{0}^{2π} dθ = 4π を得る。

1注意この「試験の解答の要点」は解答の要点である。そのままの答えでは完全な解答とは言えない。今回掲示した解答には試験日と問題 2 (1), 5 に誤りがあった。配点は各 10 点で満点は 100 点である。平均点は μ = 44.3 点、標準偏差は σ = 15.20 でした。ちなみに x 点の人の偏差値は\frac{10}{σ}(x − μ) + 50 で求めることができます。