微分積分学 AD II, 数学序論演習 II 2002 年 12 月 10 日の試験の解答の要点^{1}

1 [15] 陰関数の定理で y = f(x) が定まるのは F_{y} = −3x + 3y^{2} ≠ 0 のときで、このとき、 f′(x) = −\frac{F_{x}(x,y)}{F_{y}(x,y)} = \frac{x^{2}−y}{x−y^{2}}, f′′(x) = \frac{(2x−y′)(x−y^{2})−(x^{2}−y)(1−2yy′)}{(x−y^{2})^{2}} = \frac{2xy(x^{3}+y^{3}−3xy+1)}{(x−y^{2})^{3}} = \frac{2xy}{(x−y^{2})^{3}} . 極値: f′(x) = 0, F (x, y) = 0 を解いて (x, y) = (0, 0), (\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{4}). このとき、 f′′(\sqrt[3]{2}) = −2 < 0 より x = \sqrt[3]{2} のとき極小値 y = \sqrt[3]{4} となる。 (x, y) = (0, 0) は陰関数の定理が成り立たない。 (実際に極値ではない。 )

2 [10] f_{x} = −\frac{F_{x}(x,y,z)}{F_{z}(x,y,z)} = −^{\frac{2x\sqrt{1−(xyz)^{2}}+yz}{\sqrt{1−(xyz)^{2}}+xy}}, f_{y} = −\frac{F_{y}(x,y,z)}{F_{z}(x,y,z)} = −^{\frac{2y\sqrt{1−(xyz)^{2}}+xz}{\sqrt{1−(xyz)^{2}}+xy}}

注意：偏微分と通常の一変数での微分を混同して用いている解答は 0 点とした。

3 [10] 接平面： F (x, y, z) = xy + yz + zx − 2 とおくと接平面の方程式の公式より、 F_{x}(1, 0, 2)(x − 1) + F_{y}(1, 0, 2)y + F_{z}(1, 0, 2)(z − 2) = 0. F_{x} = y + z, F_{y} = x + z, F_{z} = x + y より 2(x − 1) + 3y + z − 2 = 0, 即ち、 2x + 3y + z = 4 を得る。対称な点：求める点は接平面に垂直で点(6, 1, 3)を通る直線上にあるので(2t+6, 3t+1, t+3) とできる。これと (6, 1, 3) の中点 (t + 6, \frac{3}{2}t + 1, \frac{1}{2}t + 3) が接平面上にあるので代入して解くと t = −4 を得る。よって、求める点は (2, −5, 1) である。

4 [10] f_{x} = f_{y} = 0 より (x, y) = (\sqrt{2}, −\sqrt{2}), (−\sqrt{2}, \sqrt{2}), (0, 0). D = \{f_{xy}\}^{2} − f_{xx}f_{yy} とすると、 (x, y) = (\sqrt{2}, −\sqrt{2}), (−\sqrt{2}, \sqrt{2}) のとき D < 0, f_{xx} > 0 より極小値 −8, (x, y) = (0, 0) のとき D = 0 であるが、 f(t, t) = 2t^{4} > 0 (t ≠ 0) かつ f(t, 0) = −t^{2}(2−t^{2}) < 0 (0 < |t| < \sqrt{2}) となり (0, 0) の近くで正にも負にもなるので (x, y) = (0, 0) は極値ではない。

5 [10] f(x, y) = x, h(x, y) = x^{2}+y^{2}+xy−1 とおき、 Lagrange の未定乗数法を用いる。このとき、 grad f = λ grad h を解いて (x, y, λ) = (\frac{2}{\sqrt{3}}, −\frac{1}{\sqrt{3}}, \sqrt{3}), (−\frac{2}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, −\sqrt{3}). よって、ヒントより、最大値で極大値、最小値で極小値となり極値の候補は 2 つしかないのでそれぞれが極大極小となる。以上より、 (x, y) = (\frac{2}{\sqrt{3}}, −\frac{1}{\sqrt{3}}) で極大値 x = \frac{2}{\sqrt{3}}、 (x, y) = (−\frac{2}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}) で極小値 x = −\frac{2}{\sqrt{3}} をとる。

6 [10] ψ_{x} = −\frac{f_{x}(x,y,z)}{f_{z}(x,y,z)} = −^{\frac{2x\sqrt{1−(xyz)^{2}}+yz}{\sqrt{1−(xyz)^{2}}+xy}}, ψ_{y} = −\frac{f_{y}(x,y,z)}{f_{z}(x,y,z)} = −^{\frac{2y\sqrt{1−(xyz)^{2}}+xz}{\sqrt{1−(xyz)^{2}}+xy}}

7 [10] 与えられた写像は線形変換だから、平行四辺形は平行四辺形に写される。よって、それぞれの頂点の写る先を求めるればよい。それぞれ (0, 0) → (0, 0), (1, 0) → (2, 1), (1, 1) → (3, −1), (0, 1) → (1, −2) となるから (0, 0), (2, 1), (3, −1), (1, −2) を頂点とする平行四辺形の内部及び周に移される。 (図は略す。 ) 面積: |\frac{∂(u,v)}{∂(x,y)} | = |2 · (−2) − 1 · 1| = 5.(この問題では写された図形も正方形なのでそれを利用してもよい。 ) 特に、 Jacobian \frac{∂(u,v)}{∂(x,y)} ≠ 0 より一対一となることをわかる。

8 [5] r^{2} sin θ (単に偏導関数を求め行列式を計算すればよい。 )

1注意この「試験の解答の要点」は解答の要点である。そのままの答えでは完全な解答とは言えない。 (今回掲示した解答には試験日と問題 7 に誤りがあった。 ) [ ] 内は配点で、満点は 80 点である。平均点は μ = 24.7 点、標準偏差は σ = 10.75 でした。ちなみに x 点の人の偏差値は\frac{10}{σ}(x − μ) + 50 で求めることができます。