微分積分学 AD II, 数学序論演習 II 2001 年 11 月 26 日の試験の解答の要点^{1}

1 [10] (a, b) ∈ E とする。 ε > 0 を 0 < ε < 1 − \sqrt{a^{2} + b^{2}} と選べば、 (x, y) ∈ U_{ε}((a, b)) のとき ∥(x, y) − (a, b)∥ < ε より\sqrt{x^{2} + y^{2}} = ∥(x, y)∥ ≤ ∥(x, y) − (a, b)∥ + ∥(a, b)∥ < ε + \sqrt{a^{2} + b^{2}} < 1、即ち、 (x, y) ∈ E を得る。従って、 U_{ε}((a, b)) ⊂ E となり、 E は開集合である。^{2}

2 [各 5] (1) (x, y) = (t, mt) とすると、 f(t, mt) = \frac{sin mt^{2}}{(1+m^{2})t^{2}} → \frac{m}{1+m^{2}} (t → 0) より m の取り方によって極限が変わるので存在しない。

(2) (x, y) → (0, 0) のとき、即ち、\sqrt{x^{2} + y^{2}} → 0 のとき、 |f(x, y)| ≤ \frac{x^{2}+y^{2}}{2} | log(x^{2} + y^{2})| より、 lim_{r→0} r^{2} log r = 0 に注意すれば lim_{(x,y)→(0,0)} f(x, y) = 0 を得る。

3 [4/6] (1) f_{x} = −\frac{y}{x^{2}} \{1 − (\frac{y}{x})^{2}\}^{−1/2}, f_{y} = \frac{1}{x}\{1 − (\frac{y}{x})^{2}\}^{−1/2}.

(2) f_{x} = x^{\frac{1}{x+y+z}} \{\frac{1}{x(x+y+z)} − \frac{log x}{(x+y+z)^{2}} \}, f_{y} = f_{z} = −^{\frac{x^{\frac{1}{x+y+z}} log x}{(x+y+z)^{2}}}

4 [10] f_{x}(0, y) = lim_{h→0} \frac{f(h,y)−f(0,y)}{h} = lim_{h→0}y Arctan |\frac{y}{h} | = \frac{π}{2}y ( lim_{x→∞} Arctan x = \frac{π}{2} に注意) より

f_{xy}(0, 0) = \frac{∂}{∂y}f_{x}(0, 0) = \frac{π}{2},

f_{y}(x, 0) = lim_{k→0} \frac{f(x,k)−f(x,0)}{k} = lim_{k→0}x Arctan |\frac{k}{x} | = 0 (x ≠ 0), f_{y}(0, 0) = lim_{k→0} \frac{f(0,k)−f(0,0)}{k} =

lim_{k→0} \frac{0−0}{k} = 0 より f_{yx}(0, 0) = 0.

5 [15] 全微分可能であること: f(0, 0) = 0 と f_{x}(0, 0) = lim_{h→0} \frac{f(h,0)−0}{h} = 0, f_{y}(0, 0) = lim_{k→0} \frac{f(k,0)−0}{k} = 0 に注意する。これより、 f(x, y) = f(0, 0) + xf_{x}(0, 0) + yf_{y}(0, 0) + o(\sqrt{x^{2} + y^{2}}) = o(\sqrt{x^{2} + y^{2}}) ((x, y) → (0, 0))となることを証明すればよい。 | sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} | ≤

1 より |f(x, y)| ≤ \frac{x^{2}+y^{2}}{2} となり f(x, y)/\sqrt{x^{2} + y^{2}} → 0. よって、 f(x, y) = o(\sqrt{x^{2} + y^{2}}) となり全微分可能。 C^{1} 級ではないこと: (x, y) ≠ (0, 0) のとき、 f_{x}(x, y) = y sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} − \frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}} sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}

より f_{x}(t, t) = (t − \frac{1}{\sqrt{2}|t|}) sin \frac{1}{\sqrt{2}|t|} であるが、これは明らかに t = 0 で連続ではない。従って、 f_{x}(x, y) は (x, y) = (0, 0) で連続ではないので、 C^{1} 級ではない。

6 [15] (1) z_{u} = z_{x}x_{u} + z_{y}y_{u} = z_{x} cos α + z_{y} sin α, z_{v} = z_{x}x_{v} + z_{y}y_{v} = −z_{x} sin α + z_{y} cos α より z_{x}^{2} + z_{y}^{2} = z_{u}^{2} + z_{v}^{2} を得る。

(2) z_{uu} = (z_{xx}x_{u}+z_{xy}y_{u}) cos α+(z_{yx}x_{u}+z_{yy}y_{u}) sin α = z_{xx} cos^{2} α+2z_{xy} sin α cos α+z_{yy} sin^{2} α, z_{vv} = (z_{xx}x_{v} +z_{xy}y_{v}) cos α+(z_{yx}x_{v} +z_{yy}y_{v}) sin α = z_{xx} sin^{2} α−2z_{xy} sin α cos α+z_{yy} cos^{2} α より z_{xx} + z_{yy} = z_{uu} + z_{vv} を得る。

7 [10] f = f_{x} = f_{xx} = f_{xxx} = e^{x} cos y, f_{y} = f_{xy} = f_{xxy} = −e^{x} sin y, f_{yy} = f_{xyy} = −e^{x} cos y, f_{yyy} = e^{x} sin y を公式に代入して f(x, y) = 1 + x + \frac{1}{2}(x^{2} − y^{2}) + R_{3}. 但し、 R_{3} = \frac{e^{θx}}{6} (x^{3} cos θy − 3x^{2}y sin θy − 3xy^{2} cos θy + y^{3} sin θy), (0 < θ < 1). 特に、 |R_{3}| ≤ \frac{e^{|x|}}{6} (|x|^{3} + 3|x|^{2}|y| + 3|x||y|^{2} + |y|^{3}) = \frac{e^{|x|}}{6} (|x| + |y|)^{3}. これが、誤差の限界である。

1注意この「試験の解答の要点」は解答の要点である。そのままの答えでは完全な解答とは言えない。 (今回掲示した解答は問題 2(2) と 7 に誤りがあった。 ) [ ] 内は配点で、満点は 80 点である。平均点は μ = 28.9 点、標準偏差は σ = 12.36 でした。ちなみに x 点の人の偏差値は\frac{10}{σ}(x − μ) + 50 で求めることができます。

2集合 A, B に対し、「A ⊂ B ⟺^{def} ∀p ∈ A に対し p ∈ B」である。