微分積分学 AD II, 数学序論演習 II 2003 年 1 月 7 日^{1}

● 2 月 4 日 (5 回目) の試験の範囲は第 7 章重積分とその応用の §5, 第 4 章定積分とその応用の §4 (II) 曲線の長さ, ベクトル解析の講義した箇所と以下の問題とします。

7 重積分とその応用 § 1 重責分の応用の補足問題教科書の問 12 – 18 と p.220 – の演習問題 A, 2, 8 (重心を除く) と B, 13 (3), 15, 20 を解いておくこと。『荷見・堀内著現代解析の基礎』の p.315 – の 7.26 演習問題 23 の 15, 16 も解いておくこと。

1 次の重積分を計算せよ。^{2}

(1) ∫∫∫∫_{V} dx dy dz dw V : |x + y + z + w| ≤ 2, |x − y| ≤ 1, |x + 3z| ≤ 1, |y + z + 2w| ≤ 1

(2) ∫∫∫∫_{V} x dx dy dz dw V : 0 ≤ x + y ≤ 2, 0 ≤ x − y ≤ 1, 0 ≤ x + 3z ≤ 1, 0 ≤ y + z + 2w ≤ 1

4 定積分とその応用 §4 (II) 曲線の長さ教科書の問 21 – 24 と p.125 – の演習問題 A, 14 (曲線の長さのみ) を解いておくこと。『荷見・堀内著現代解析の基礎』の p.173 – の 5.22 演習問題 14 の 2 – 7 も解いておくこと。以下の問題も範囲に加える。

ベクトル解析教科書の問 3, 5 – 9 を解いておくこと。『荷見・堀内著現代解析の基礎』の p.327 – の 7.29 演習問題 24 の 1 – 6 も解いておくこと。以下の問題も範囲に加える。

2 次の面積分を計算せよ。 (a > 0 とする。 ) ^{3}

(1) ∫∫_{S}(x + y + z) dS; S は半球 x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}, z ≥ 0

(2) ∫∫_{S}(x^{2} + y^{2}) dS; S は \{\sqrt{x^{2} + y^{2}} ≤ z ≤ 1\} を囲む閉曲面

(3) ∫∫_{S}(xy + yz + zx) dS; S は錘面 z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} の円柱 x^{2} + y^{2} = 2ax で切り取られる部分

(4) ∫∫_{S} \frac{dS}{(1 + x + y)^{2}} ; S は D = \{x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + z ≤ 1\} を囲む面

(5) ∫∫_{S} |xyz| dS; S は曲面 z = x^{2} + y^{2} 曲面の z ≤ 1 の部分

(6) ∫∫_{S} A · n dS; A = (y^{2}, z^{2}, x^{2}), S は半球 x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}, z ≥ 0, n はその外向きの単位法線ベクトル

(7) ∫∫_{S} A · n dS; A = (x, y, z), S は輪環面 (\sqrt{x^{2} + y^{2}} − a)^{2} + z^{2} = b^{2} (a > b) の表面, n はその外向きの単位

法線ベクトル

1杉浦のホームページ ( http://www.math.u-ryukyu.ac.jp/˜ sugiura/index.html ) からもダウンロードできます。

2解答: 1 (1) 4 (2) \frac{3}{2}

3解答: 2 (1) πa^{3} (2) \frac{π}{2} (1 + \sqrt{2}) (3) \frac{64\sqrt{2}}{15} a^{4} (4) (\sqrt{3} − 1) ( \frac{\sqrt{3}}{2} + log 2) (5) \frac{25}{84} \sqrt{5} − \frac{1}{420} (6) \frac{π}{4} a^{4} (7) 6π^{2}ab^{2}