微分積分学 AD II, 数学序論演習 II 2002 年 12 月 6 日^{1}

● 1 月 10 日（4 回目）の試験の範囲は第 7 章重積分とその応用の §§ 1–4 とします。

7 重積分とその応用

§ 1 重積分, § 2 重責分の計算, § 3 広義重責分, § 4 重責分の計算の補足問題教科書の問 1 – 11 と p.220 – の演習問題 A, 1, 3 – 7 と B, 13 (1), (2), 14, 16 – 18 を解いておくこと。『荷見・堀内著現代解析の基礎』の p.315 – の 7.26 演習問題 23 の 1 – 10 も解いておくこと。以下の問題も範囲に加える。 (昨年度用いた教科書からの丸写しです。写し間違い以外の間違いをチェックしていないので、間違いを含む可能性もある。また、計算できない可能性もある。 )

1. 次の重積分の値を求めよ。 (括弧内は D を表す。 )^{2}

(1) ∫∫_{D} x^{2}y dx dy (x^{2} − 2ax + y^{2} ≤ 0, y ≥ 0)  (a > 0 とする)

(2) ∫∫_{D}(x^{2} + y^{2}) dx dy (x + y ≤ 1, x, y ≥ 0) (3) ∫∫_{D} x^{2} dx dy (0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ Arcsin x)

(4) ∫∫_{D} x dx dy (\sqrt{x} + \sqrt{y} ≤ 1) (5) ∫∫_{D} \frac{dx dy}{1 + x^{2}} (0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 1)

(6) ∫∫_{D} \frac{dx dy}{\sqrt{(x − y)^{2} + 2(x + y) + 1}} (0 ≤ y ≤ x ≤ 2) (ヒント: x = s(1 + t), y = t(1 + s) とせよ。 )

(7) ∫∫_{D} \frac{y dx dy}{(x + y)^{2} + 1} (\frac{1}{\sqrt{3}} ≤ x + y ≤ 1, x, y ≥ 0) (ヒント: x + y = s, y = st とせよ。 )

(8) ∫∫_{D}(x^{2} + y^{2}) dx dy (|x + y| ≤ 1, |x − y| ≤ 1) (ヒント: x + y = s, x − y = t とせよ。 )

(9) ∫∫_{D} \frac{x^{2}}{xy + 1} dx dy (\frac{x}{4} ≤ y ≤ x, \frac{1}{x} ≤ y ≤ \frac{4}{x}) (ヒント: x = st, y = s/t とせよ。 )

(10) ∫∫_{D}(x^{2} + y^{2}) dx dy (x^{2} + y^{2} ≤ a^{2}, (x − a)^{2} + y^{2} ≥ a^{2}, x, y ≥ 0) (a > 0 とする)

(11) ∫∫_{D} 1 dx dy ((x^{2} + y^{2})^{2} ≤ x^{2} − y^{2}) (ヒント: (10), (11) では極座標を用いよ。 )

2. 次の累次積分の順序を変更せよ。^{3}

(1) ∫0^{\frac{π}{2}}dx∫_{sin x}^{2} f(x, y) dy  (2) ∫_{0}^{1}dx∫0^{\frac{1}{1+x}} f(x, y) dy  (3) ∫_{0}^{1}dx∫_{0}^{x−x^{2}} f(x, y) dy

3. 次の広義積分の値を求めよ。 (括弧内は D を表す。 )^{4}

(1) ∫∫_{D} \frac{dx dy}{(x + y)^{α}} (0 < x, y ≤ 1)  (α > 0 とする)  (2) ∫∫_{D} \frac{dx dy}{\sqrt{1 − xy}} (0 ≤ x < 1, 0 ≤ y ≤ x)

(3) ∫∫_{D} \frac{x + y}{x^{2} + y^{2}} dx dy (0 < x ≤ 1, 0 < y ≤ 1) (4) ∫∫_{R^{2}} e^{−3x^{2}+2xy−3y^{2}} dx dy

(5) ∫∫_{D} \frac{x^{2}}{(x^{2} + y^{2})(x^{2} + 1)^{2}} dx dy (0 < x ≤ y) (6) ∫∫_{R^{2}} \frac{1}{(1 + x^{2} + y^{2})^{2}} dx dy

(7) ∫∫_{D} |x − y|^{−a} dx dy (0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, y ≠ x) (0 < a < 1 とする)

32 (1) ∫_{0}^{1}dy∫_{y}^{Arcsin y} f(x, y) dx+∫1^{\frac{π}{2}} dy∫y^{\frac{π}{2}} f(x, y) dx (2) ∫0^{\frac{1}{2}} dy∫_{0}^{1} f(x, y) dx+∫ 1_{\frac{1}{2}}dy∫_{0}^{\frac{1}{y} −1} f(x, y) dx (3) ∫0^{\frac{1}{4}} dy∫ \frac{1+\sqrt{1−4y}}{2} ; \frac{1−\sqrt{1−4y}}{2} f(x, y) dx

1杉浦のホームページ ( http://www.math.u-ryukyu.ac.jp/˜ sugiura/index.html ) からもダウンロードできます。 2解答: 1 (1) \frac{4}{5} a^{5} (2) \frac{1}{6} (3) \frac{π}{6} − \frac{2}{9} (4) \frac{1}{30} (5) \frac{1}{2} log 2 (6) 2 log 2 − \frac{1}{2} (7) \frac{3−\sqrt{3}}{6} − \frac{π}{24} (8) \frac{2}{3} (9) \frac{9}{2} − \frac{3}{2} log \frac{5}{2} (10) ( \frac{7\sqrt{3}}{16} − \frac{5π}{24} )a^{4} (11) 1 43 (1) α ∈ (0, 2), α ≠ 1 のとき\frac{2^{2−α}−2}{(1−α)(2−α)} . α = 1 のとき 2 log 2. α ≥ 2 のとき +∞ (2) 2 − 2 log 2 (3) log 2 + \frac{π}{2} (4) \frac{π}{2\sqrt{2}} (5) \frac{π}{8} (6) π (7) 2/(1 − a)(2 − a) (8) 1/24 (9) a^{4}/6 (10) −π (11) π/2a

(8) ∫∫_{D} \frac{dx dy}{(x + y)^{4}} (x ≥ 1, y ≥ 1) (9) ∫∫_{D} \frac{x^{2}y}{\sqrt{a^{2} − y^{2}}} dx dy (0 ≤ y < a, x^{2} + y^{2} ≤ a^{2}) (a > 0)

(10) ∫∫_{D} log (x^{2} + y^{2}) dx dy (0 < x^{2} + y^{2} ≤ 1) (11) ∫∫_{D} \frac{dx dy}{\sqrt{(x^{2} + y^{2}) (a^{2} + x^{2} + y^{2})^{2}}} (x ≥ 0, y ≥ 0)

4. 次の図形の面積を求めよ。^{5}

(1) D = { (x, y) | x^{2} − xy + y^{2} ≤ 1}

(2) 極座標により r = a sin nθ (a > 0, n は自然数) によって囲まれる図形。

(3) (x^{2} + y^{2})^{2} = a^{2}xy (a > 0) によって囲まれる図形。

54 (1) 2π/\sqrt{3} (2) n が偶数のとき πa^{2}/2, n が奇数のとき πa^{2}/4 (3) a^{2}/2