微分積分学 AD I, 数学序論演習 I テスト出題日 2002 年 8 月 2 日

• 解答用紙は裏面も使用してください。名前と学籍番号は提出するすべての解答用紙に記入してください。

1. 関数 f(x) は x = a の近くで C^{3} 級、 f′′′(a) ≠ 0 ならば、 h に対し θ を

f(a + h) = f(a) + f′(a)h + \frac{f′′(a + θh)}{2}h^{2}

で定めるとき lim_{h→0} θ = 1/3 であることを示せ。

2. [a, b] で f′′(x) が連続で、 (a, b) で f′′′(x) が連続であるとき、

f(b) = f(a) + (b − a)f′ (\frac{a + b}{2}) + \frac{1}{24}(b − a)^{3}f′′′(c), a < c < b

を満たす c が存在することを示せ。ヒント: φ(x) = f(x+α)−f(−x+α)−2xf′(α), ψ(x) = 8x^{3} (但し、 α = \frac{a+b}{2}) とし、 Cauchy

の平均値の定理を数回用いることで\frac{φ( \frac{b−a}{2} )}{ψ( \frac{b−a}{2} )} = \frac{f′′(γ+α)−f′′(−γ+α)}{24·2γ} (α < γ < \frac{b−a}{2}) をまず示し、更にこの右辺に平均値の定理を用いよ。

3. Taylor の公式を用いて、 f(x) = e^{x} の Maclaurin 展開式を導け。

4. 次の極限値を求めよ。

(1) lim_{x→∞} \frac{(log x)^{100}}{x^{1/2}}  (2) lim_{x→π/2−0} \frac{log (\frac{π}{2} − x)}{tan x}  (3) lim_{x→1} \frac{x^{x} − x}{1 − x + log x}

(4) lim_{x→∞} \{x − x^{3} log (1 + \frac{1}{x^{2}} )\} (5) lim_{x→0} (\frac{sin x}{x})^{\frac{1}{x^{2}}}

5. (1) 関数 Arcsin x − sin x は x → 0 のとき何位の無限小か。

(2) f(x) = log(1 + x) − \frac{x}{1 + ax} が x → 0 のとき 3 位の無限小となるように a の値を定めよ。

6. lim_{x→0} \{\frac{1}{sin 2x} \frac{1}{sin 3x} − \frac{α}{sin^{2} x}\} = β を満たす実数 α, β を求めよ。

ヒント: まず、 \{⋯ \} を\frac{sin^{2} x−α sin 2x sin 3x}{6x^{4}}(\frac{x}{sin x})^{2} \frac{2x}{sin 2x} \frac{3x}{sin 3x} と変形する。これが収束するためには φ(x) = sin^{2} x − α sin 2x sin 3x が 4 位 (以上) の無限小になるように α を決定すればよい。

連絡 8 月 6 日（火） 10:20 から答案用紙を返却するので、返却を希望する者は理学部 408 室 (数学序論を行っている教室) に受け取りに来ること。