微分積分学 AD I, 数学序論演習 I テスト 6 回目出題日 2001 年 7 月 19 日

• 解答用紙は裏面も使用してください。名前と学籍番号は提出するすべての解答用紙に記入してください。

1. 次の定積分を求めよ。（広義積分も含まれる。注意せよ。）

(1) ∫_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{2x − x^{2}}} dx  (2) ∫_{0}^{∞} \frac{1}{x(x^{2} + 1)} dx (3) ∫_{0}^{∞} \frac{1}{e^{x} + e^{−x}} dx
(4) ∫_{0}^{1}(log x)^{2} dx (5) ∫_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1 + \sqrt{x}}} (6) ∫_{0}^{π/4} log (1 + tan x) dx

ヒント: (6) は t = \frac{π}{4} − x と置換せよ。

2. 次の広義積分が収束することを示せ。ただし、定数α > 0に対する広義積分∫_{0}^{1} \frac{1}{x^{α}} dx や ∫_{1}^{∞} \frac{1}{x^{α}} dx の収束・発散の結果は証明なしで用いても構わない。

(1) ∫_{0}^{1} \frac{x^{1/2}}{sin x} dx  (2) ∫_{1}^{∞} x^{2}e^{−x^{2}} dx  (3) ∫_{1}^{∞} cos (x^{4}) dx

3. 定積分の定義を用いて、次の極限を求めよ。

lim_{n→∞} \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} \frac{k}{\sqrt{n^{2} + k^{2}}}

4. 次の関数を x について微分せよ。ただし、関数 f は連続、 a, b は定数とする。 (1) ∫_{a}^{x^{2}} f(t) dt (2) ∫_{a}^{b} tf(x − t) dt

5. 次の不等式を証明せよ。

2 (1 − \frac{1}{e}) < ∫_{0}^{π} e^{− sin x} dx < π (1 − \frac{1}{e})

ヒント: sin x = sin(π − x) 及び\frac{2}{π}x < sin x < x (0 < x < \frac{π}{2}) を用いよ。

6. [a, b] で f(x) が連続かつ f(x) ≥ 0 ならば、

lim_{n→∞} (∫_{a}^{b}{f(x)}^{n} dx)^{1/n} = max{ f(x) | a ≤ x ≤ b }

を示せ。ヒント: f(c) = max{ f(x) | a ≤ x ≤ b } なる c ∈ [a, b] を選ぶと、任意の ε > 0 に対し δ > 0

が存在して |x − c| < δ ならば f(c) − ε < f(x) ≤ f(c) となることを用いよ。