微分積分学 AD I, 数学序論演習 I テスト 5 回目出題日 2002 年 6 月 28 日

• 解答用紙は裏面も使用してください。名前と学籍番号は提出するすべての解答用紙に記入してください。

1. 次の関数を積分せよ。 [配点：各 8 点]

(1) (Arcsin x)^{2}  (2) \frac{3x^{5}}{x^{3} − 1}  (3) \frac{cos x}{sin x(1 + cos x)}
(4) \frac{1}{1 + 3 sin^{2} x}  (5) \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}  (6) \sqrt{\frac{2 − x}{x − 1}}
(7) \frac{\sqrt[4]{x}}{1 + \sqrt{x}}  (8) \frac{\sqrt{x^{3} + 1}}{x}

2. 次の微分方程式を解け。 [配点：各 8 点]

(1) x\sqrt{1 + y^{2}} + y\sqrt{1 + x^{2}} y′ = 0  (2) xy^{2}y′ = x^{3} + y^{3}
(3) (x − y − 4)y′ = x + y + 2  (4) y′ + \frac{1}{2}y = \frac{1}{y} cos x

ヒント： (2) は同次形、 (3) は α − β − 4 = 0, α + β + 2 = 0 の解 α, β を求め x = u + α, y = v + β とおくことで同次形に帰着せよ。 (4) は z = y^{2} と変換することにより 1 階線形微分方程式に帰着できる。

3. 関数 y = 3x^{4} + 4x^{3} のグラフを描け。 [配点： 8 点]