微分積分学 AD I, 数学序論演習 I テスト出題日 2001 年 6 月 14 日

• 解答用紙は裏面も使用してください。名前と学籍番号は提出するすべての解答用紙に記入してください。

1. (1) f(x)が区間[a, b]で連続かつ(a, b)で微分可能であるとする。このとき、 f′(x) = 0 (a < x < b) であれば f(x) は定数関数であることを平均値の定理より導け。

(2) Arccos \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} = Arctan x (x > 0) を示せ。

(ヒント： f(x) = Arccos \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} − Arctan x に対し (1) を用いよ。 )

2. 関数 f(x) は C^{2} 級で f′′(x) ≥ 0 (x ∈ R) とする。このとき、 Taylor の公式を用いて f(x) のグラフはその接線よりも上側にあることを示せ。

3. (1) Taylor の公式を用いて、 cos x の Maclaurin 展開式を導け。

(2) sin^{2} x = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{2^{2n+1}}{(2n + 2)!}x^{2n+2} を示せ。 (ヒント： (1) を用いよ。 )

4. 次の極限値を求めよ。

(1) lim_{x→0} \frac{sin x − Arcsin x}{x^{3}} (2) lim_{x→∞} (e^{x} log x − x^{2})

(3) lim_{x→0} \frac{e − e^{cos x}}{x^{2}} (4) lim_{x→∞} \{x − x^{2} log (1 + \frac{1}{x})\}

(5) lim_{x→∞} (\frac{π}{2} − Arctan x)^{\frac{1}{x}} (6) lim_{x→0} (\frac{tan x}{x})^{\frac{1}{x^{2}}}

5. (1) x → 0 のとき、 tan x − sin x = O(x^{3}) を証明せよ。

(2) 任意の α > 0 に対し、 x → ∞ のとき (log x)^{1000} = o(x^{α}) を証明せよ。

6. f(x) = log(1 + x) − \frac{x(1 + bx)}{1 + ax} が x → 0 のとき 4 次の無限小となるように a, b の値を求めよ。