微分積分学 AD I, 数学序論演習 I テスト出題日 2001 年 5 月 31 日

• 解答用紙は裏面も使用してください。名前と学籍番号は提出するすべての解答用紙に記入してください。

1. (1) Arcsin (−\frac{1}{2}), Arccos (−\frac{\sqrt{3}}{2}) を求めよ。

(2) 2 Arctan \frac{1}{3} + Arctan \frac{1}{7} = \frac{π}{4} を示せ。

2. 関数 f(x) = Arcsin (\frac{x + 1}{x − 1}) の定義域および導関数を求めよ。

3. 次の関数について、 f′_{+}(0), f′_{−}(0), f′(0) が存在するか。存在すればそれを求めよ。

f(x) = \{ \begin{matrix}\sqrt{2x + 1} & (x ≥ 0) \\ ax^{2} + bx + 1 & (x < 0) \end{matrix} (ただし、 a, b は定数。 )

4. 次の関数の導関数を求めよ。

(1) x^{sin x} (2) Arctan x + Arctan \frac{1}{x}

5. 次の媒介変数表示の関数から\frac{dy}{dx}, \frac{d^{2}y}{dx^{2}} を求めよ。

x = t + \frac{1}{t}, y = t − \frac{1}{t}

6. 次の関数の n 階導関数を求めよ。

(1) x^{2}e^{x}  (2) cos 3x · cos x  (3) \frac{1}{x^{2} − x}

7. L_{n}(x) = e^{x} \frac{d^{n}}{dx^{n}} (x^{n}e^{−x}) に対し、以下を示せ。

(1) L_{n}(x) は n 次多項式である。 (Laguerre の多項式)

(2) xL′′_{n}(x) + (1 − x)L′_{n}(x) + nL_{n}(x) = 0 (Laguerre の微分方程式) (ヒント: z = x^{n}e^{−x} とおき xz′ = (n − x)z を導き、その両辺を n + 1 回微分せよ。 )