微分積分学 AD I, 数学序論演習 I テスト出題日 2001 年 5 月 7 日

1. ⋂_{n=1}^{∞} ( 1 , 2 + \frac{1}{n} ) = ( 1 , 2 ] を示せ。

2. 集合 A = { x ∈ Q | x^{2} < x + 2} に対し、 sup A を求めよ。

3. lim_{n→∞} a_{n} = α で α ≠ 0 のとき、以下に答えよ。

(1) lim_{n→∞} a_{n} = α の定義を述べよ。

(2) ある N ∈ N が存在して n ≥ N ならば |a_{n}| > \frac{|α|}{2} となることを示せ。

(3) lim_{n→∞} \frac{1}{a_{n}} = \frac{1}{α} を示せ。

4. 次の極限値を求めよ。

(1) lim_{n→∞} \frac{2^{n}}{n!} (2) lim_{n→∞} (2^{n} + 3^{n})^{\frac{1}{n}} ( lim_{n→∞} a^{\frac{1}{n}} = 1 (a > 0) は既知としてよい。 )

(3) lim_{n→∞} (2^{n} − n) (4) lim_{n→∞} \frac{n^{n}}{n!}

5. 「有界な単調数列は収束する」を用いて、

a_{1} = 1, a_{n+1} = \sqrt{2 + a_{n}} (n = 1, 2, …)

によって定義される数列 {a_{n}} に対し lim_{n→∞} a_{n} を求めよ。

6. a_{1} = 1, a_{n+1} = \frac{1}{1 + a_{n}} (n ≥ 1) によって定義される数列について以下を示せ。 (1) \frac{1}{2} ≤ a_{n} ≤ 1 (n ≥ 1) を示し、これを用いて

|a_{n+1} − a_{n}| ≤ \frac{4}{9}|a_{n} − a_{n−1}| (n ≥ 2)

を示せ。

(2) {a_{n}} が Cauchy 列であることを示せ。

(3) (2) より {a_{n}} は収束列である。 lim_{n→∞} a_{n} を求めよ。