微分積分学 AD I, 数学序論演習 I 2002 年 6 月 28 日の試験の解答の要点^{1}

1 (1) t = Arcsin x とおくと −\frac{π}{2} ≤ t ≤ \frac{π}{2} で、 x = sin t より\frac{dx}{dt} = cos t. よって、 ∫ (Arcsin x)^{2}dx = ∫ t^{2} cos tdt = ⋯ = t^{2} sin t + 2t cos t − 2 sin t = x(Arcsin x)^{2} + 2\sqrt{1 − x^{2}} Arcsin x − 2x を得る。最後の = は −\frac{π}{2} ≤ t ≤ \frac{π}{2} より cos t ≥ 0 となるから cos t = \sqrt{1 − sin^{2} t} = \sqrt{1 − x^{2}} を用いた。

(2) \frac{3x^{5}}{x^{3}−1} = 3x^{2} + \frac{3x^{2}}{x^{3}−1} で\frac{3x^{2}}{x^{3}−1} = \frac{A}{x−1} + \frac{Bx+C}{x^{2}+x+1} とおくと、 A + B = 3, A − B + C = 0, A − C = 0 より A = 1, B = 2, C = 1. 故に、 ∫ \frac{3x^{5}}{x^{3}−1}dx = ∫ \{3x^{2} + \frac{1}{x−1} + \frac{2x+1}{x^{2}+x+1}\}dx = x^{3} + log |x − 1| + log(x^{2} + x + 1).

(3) t = tan \frac{x}{2} とすると、 dx = \frac{2}{1+t^{2}} dt, sin t = \frac{2t}{1+t^{2}} , cos t = \frac{1−t^{2}}{1+t^{2}} より ∫ \frac{cos x}{sin x(1+cos x)}dx = ∫ \frac{1−t^{2}}{2t} dt = \frac{1}{2} log |t| − \frac{1}{4}t^{2} = \frac{1}{2} log |tan \frac{x}{2} | − \frac{1}{4} tan^{2} \frac{x}{2}.

(4) t = tan x とすると、 dx = \frac{1}{1+t^{2}} dt, sin^{2} t = 1 − cos^{2} t = 1 − \frac{1}{1+t^{2}} = \frac{t^{2}}{1+t^{2}} より ∫ \frac{1}{1+3 sin^{2} x} dx = ∫ \frac{1}{1+4t^{2}} dt = \frac{1}{2} Arctan 2t = \frac{1}{2} Arctan 2 tan x.

(5) t = x + \sqrt{x^{2} + 1} とすると、 x = \frac{t^{2}−1}{2t} より dx = \frac{t^{2}+1}{2t^{2}} dt.

よって、 ∫ \frac{dx}{x+\sqrt{x^{2}+1}} = ∫ \frac{t^{2}+1}{2t^{3}} dt = \frac{1}{2} log |t| − \frac{1}{4} \frac{1}{t^{2}} = \frac{1}{2} log(x + \sqrt{x^{2} + 1}) − \frac{1}{4(x+\sqrt{x^{2}+1})^{2}} .

(6) t = \sqrt{\frac{2−x}{x−1}} とすると、 x = \frac{t^{2}+2}{t^{2}+1} より dx = \frac{−2t}{(t^{2}+1)^{2}} dt. 故に ∫ \sqrt{\frac{2−x}{x−1}} dx = −2 ∫ \frac{t^{2}}{(t^{2}+1)^{2}} dt = −2 ∫ \{\frac{1}{t^{2}+1} −

\frac{1}{(t^{2}+1)^{2}} \} dt. ここで、 ∫ \frac{1}{t^{2}+1} dt − ∫ \frac{1}{(t^{2}+1)^{2}} dt = ∫ \frac{t^{2}}{(t^{2}+1)^{2}} dt = ∫ \frac{t}{2} (−\frac{1}{t^{2}+1})′ dt = −\frac{1}{2} \frac{t}{t^{2}+1} + \frac{1}{2} ∫ \frac{1}{t^{2}+1} dt よ

り、 ∫ \sqrt{\frac{2−x}{x−1}} dx = \frac{t}{t^{2}+1} − Arctan t = (x − 1)\sqrt{\frac{2−x}{x−1}} − Arctan \sqrt{\frac{2−x}{x−1}} = \sqrt{(2 − x)(x − 1)} − Arctan \sqrt{\frac{2−x}{x−1}}.

最後の = は\frac{2−x}{x−1} ≥ 0 より 1 < x ≤ 2 となることを用いた。

(7) t = \sqrt[4]{x} とすると、 x = t^{4} より dx = 4t^{3} dt. 故に ∫ \frac{\sqrt[4]{x}}{1+\sqrt{x}} dx = ∫ \frac{4t^{4}}{t^{2}+1} dt = 4 ∫ \{t^{2} − 1 + \frac{1}{t^{2}+1}\} dt =

4(\frac{1}{3}t^{3} − t + Arctan t) = 4(\frac{1}{3} \sqrt[4]{x^{3}} − \sqrt[4]{x} + Arctan \sqrt[4]{x}).

(8) t = x^{3} とすると dx = \frac{1}{3}t^{−2/3} dt より、 ∫ \frac{\sqrt{x^{3}+1}}{x} dx = ∫ \frac{\sqrt{t+1}}{3t} dt. 更に、 u = \sqrt{t + 1} とおくと dt = 2u du より ∫ \frac{\sqrt{t+1}}{3t} dt = ∫ \frac{2u^{2}}{3(u^{2}−1)} du = \frac{1}{3} ∫ (2 + \frac{1}{u−1} − \frac{1}{u+1}) du = \frac{2}{3}u + \frac{1}{3} log |\frac{u−1}{u+1}| = \frac{2}{3} \sqrt{x^{3} + 1} + \frac{1}{3} log |\frac{\sqrt{x^{3}+1}−1}{\sqrt{x^{3}+1}+1}|.

2 (1) 与式より ∫ \frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}} dy = − ∫ \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} dx. (\sqrt{1 + t^{2}})′ = \frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}} より\sqrt{1 + y^{2}} + \sqrt{1 + x^{2}} = C (C は任意

定数) を得る。

(2) 両辺を x^{3} で割って (\frac{y}{x})^{2}y′ = 1+(\frac{y}{x})^{3}. z = \frac{y}{x} とおくと y = xz より y′ = z +xz′. 故に、 z^{2}(z +xz′) = 1+z^{3} より z^{2}dz = \frac{dx}{x}. 積分して\frac{1}{3}z^{3} = log |x| + C. 以上より y^{3} = 3x^{3}(log |x| + C) (C は任意定数).

(3) ヒントより α = 1, β = −3 だから x = u + 1, y = v − 3 とおくと\frac{dv}{du} = \frac{dv}{dy} \frac{dy}{dx}/\frac{du}{dx} = \frac{dy}{dx}. これより与式は (1 − \frac{v}{u})\frac{dv}{du} = 1 + \frac{v}{u} となる. 同次形だから z = \frac{v}{u} とおくと、 (1 − z)(z + u\frac{dz}{du}) = 1 + z. これを解いて Arctan z − \frac{1}{2} log(1 + z^{2}) = log |u| + C. 最後に u = x − 1, z = \frac{y+3}{x−1} を代入し整理すると Arctan \frac{y+3}{x−1} = \frac{1}{2} log\{(x − 1)^{2} + (y + 3)^{2}\} + C (C は任意定数) となる。

(4) z = y^{2} とすると\frac{dz}{dx} = 2yy′ より、\frac{dz}{dz} + z = 2 cos x. これは 1 階線形方程式だからまず\frac{dz}{dz} + z = 0 を解いて z = Ae^{−x} (A は任意定数) を得る。よって、 z = A(x)e^{−x} とおくと、 z′ + z = A′(x)e^{−x} = 2 cos x より A′(x) = 2e^{x} cos x. 故に A(x) = 2 ∫ e^{x} cos x dx = e^{x}(cos x + sin x) + C. (部分積分を 2 回用い整理すればこれは得られる。 ) 以上より、 y^{2} = cos x + sin x + Ce^{−x} (C は任意定数) を得る。

3 y′ = 12x^{3} + 12x^{2}, y′ = 0 より x = 0, −1.

y′′ = 36x^{3} + 24x^{2}, y′′ = 0 より x = 0, −2/3. より増減表を書くと

x −∞ ⋯ −1 ⋯ −\frac{2}{3} ⋯ 0 ⋯ ∞
y′ ／ − 0 + ／ + 0 + ／
y′′ ／ + ／ + 0 − 0 + ／
y ∞  −1  −\frac{16}{27}  0  ∞

以上よりグラフは右のようになる。 (漸近線は存在しない。 )

1注意この「試験の解答の要点」は解答の要点である。そのままの答えでは完全な解答とは言えない。より詳しくは直接質問に来ること。また、計算間違いを含む可能性もある。尚、配点は各 7 点で、満点は 91 点である。 (変更しました。 ) 平均点は 40.3 点でした。