微分積分学 AD I, 数学序論演習 I 2002 年 5 月 24 日^{1}

●試験に関する連絡

• 6 月 14 日 (金) の試験範囲は第 2 章 § 2, § 3 (I) とします。主に教科書の問題とハンドアウトの問題から出題します。しっかり勉強しておいて下さい。

2 微分とその応用 § 3 微分の応用^{2}

56. 次の極限値を求めよ。

(1) lim_{x→∞} (e^{x} log x − x^{2})  (2) lim_{x→0} (\frac{tan x}{x})^{\frac{1}{x^{2}}}  (3) lim_{x→∞} (\frac{π}{2} − Arctan x)^{\frac{1}{x}}

(4) lim_{x→∞} (\frac{1}{tan^{2} x} − \frac{1}{x^{2}} )  (5) lim_{x→π/2−0} \frac{log (\frac{π}{2} − x)}{tan x}  (6) lim_{x→∞} x (\frac{π}{2} − Arctan x)

57. 関数 f(x) = \{ \begin{matrix}e^{−1/x} & (x > 0) \\ 0 & (x ≤ 0) \end{matrix} は R で C^{∞} であり、すべての n = 0, 1, 2, … について f^{(n)}(0) = 0 とな

ることを証明せよ。

(注意: これより関数が C^{∞} 級だからといって必ずしも Taylor 展開できないことがわかる。実際、この f(x)

が x = のまわりに Taylor 展開できたとすると f(x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} ≡ 0 となり矛盾する。 )

58. x → +0 のとき、次の無限小を小さい方から順に並べよ。

x log x,  sin x,  x^{2} log x,  e^{−1/x}

59. x → ∞ のとき、次の無限大を大きい方から順に並べよ。

\sqrt{x},  \frac{x}{log x},  log(log x),  \frac{1}{sin \frac{1}{x}}

60. x → 0 のとき、次の関数はそれぞれ何位の無限小か。

(1) \frac{sin x}{\sqrt{x}}  (2) e^{x} − x − 1  (3) tan^{2} x  (4) \sqrt{1 + x} − 1  (5) Arcsin x
(6) Arctan x  (7) \frac{π}{2} − Arccos x  (8) sin x − Arcsin x  (9) x − log(1 + x)
(10) \frac{x\sqrt{x}}{1 − x^{3}}  (11) cos 2x − cos 3x  (12) tan x − sin x  (13) e^{−1/x^{2}}

61. x → ∞ のとき、次の関数はそれぞれ何位の無限大か。

(1) \sqrt{3x − 1}  (2) x \{log(1 + x) − log x\}  (3) 2^{x}  (4) 2^{\sqrt{x}}  (5) \sqrt{\frac{x^{5} + 3}{x − 2}}

(6) (log x)^{100} (7) \frac{1}{sin \frac{1}{x}}

62. 曲線 y = f(x) 上の点 P から直線 ℓ におろした垂線の足を H とする。\overline{OP} → ∞ のとき、\overline{P H} → 0 であれば ℓ を漸近線という。直線 y = ax + b が漸近線ならば、 |x| → ∞ のとき、 f(x)/x → a かつ (f(x) − ax) → b であることを示せ。逆に、この関係によって a, b が決まるならば、 y = ax + b は漸近線であることを示せ。

63. 次の関数のグラフを描け。

(1) y = \frac{x^{3}}{x^{2} − 1}  (2) y = x log x  (3) y = x^{2} log x  (4) y = x\sqrt{\frac{1 + x}{1 − x}}

1杉浦のホームページ ( http://www.math.u-ryukyu.ac.jp/˜ sugiura/index.html ) からもダウンロードできます。 2教科書をよく読み、問 19–21 と p.68–の演習問題 A 4, 5, 13, 14 を解いておくこと。略解: 56 (1) ∞ (2) e^{1/3} (3) 1 (4) −2/3 (5) 0 (6) 1 57 略 58 x log x, sin x, x^{2} log x, e^{−1/x} 59 1/ sin( \frac{1}{x}), x/ log x, \sqrt{x}, log(log x)

60 (1) 1/2 位 (2) 2 位 (3) 2 位 (4) 1 位 (5) 1 位 (6) 1 位 (7) 1 位 (8) 3 位 (9) 2 位 (10) 3/2 位 (11) 2 位 (12) 3 位 (13) 任意の x^{n} より高位 61 (1) 1/2 位 (2) 有界 (3) 任意の x^{n} より高位 (4) 任意の x^{n} より高位 (5) 2 位 (6) 任意 α > 0 に対し x^{α} より低位 (7) 1 位 62 略、 63 略、但し、曲線のグラフを描くには次のことを調べよ。 1. グラフが通る点、特に座標軸を切る点。 2. グラフの存在する範囲。 3.

直線、点に関する対称性、特に両座標軸・原点についての対称性。 4. 関数の増減と極大・極小。 5. グラフの凹凸。 6. 漸近線