微分積分学 AD I, 数学序論演習 I 2002 年 5 月 17 日^{1} ●試験に関する連絡

• 5 月 31 日 (金) の試験範囲は第１章 § 5 (特に逆三角関数), 第 2 章 § 1 とします。主に教科書の問題とハンドアウトの問題から出題します。しっかり勉強しておいて下さい。

2 微分とその応用 § 2 平均値の定理, テイラーの定理^{2}

48. 平均値の定理を用いて次を示せ。

(1) Arcsin x + Arccos x = \frac{π}{2} (−1 ≤ x ≤ 1) (2) Arctan x + Arctan \frac{1}{x} = \{ \begin{matrix}π/2 & (x > 0) \\ −π/2 & (x < 0) \end{matrix}

(3) Arccos(sin x) = \frac{π}{2} − x (|x| ≤ \frac{π}{2} ) (4) Arccos \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} = Arctan x (x > 0)

(5) Arcsin \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} = Arctan x x ∈ R (6) tan (\frac{1}{2} Arcsin x) = \frac{\sqrt{1 + x} − \sqrt{1 − x}}{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 − x}} (−1 ≤ x ≤ 1)

49. 次を証明せよ。

(1) f(x) が (0, ∞) で微分可能のとき、 lim_{x→∞} f′(x) = α ならば lim_{x→∞}{f(x + 1) − f(x)} = α.

(2) f(x) が [a, ∞) で連続, (a, ∞) で微分可能かつ lim_{x→∞} f(x) = f(a) ならば f′(c) = 0 (a < c < ∞) なる c が存在する。

(3) f(x) が [a, b] で微分可能で、 f′(x) ≥ 0 かつ少なくとも 1 点 c ∈ [a, b] で f′(c) > 0 とするとき、 f(a) < f(b).

50. f(x) を C^{2} 級の関数として次を証明せよ。

(1) f′′(x) ≥ 0 (x ∈ R) ならば、 f(x) のグラフはその接線より上側にある。

(2) f′′(x) ≠ 0 ならば、 h に対し θ を f(x + h) = f(x) + hf′(x + θh) で定めるとき、 lim_{h→0} θ = 1/2 である。

(3) lim_{h→0} \frac{f(x + h) − 2f(x) + f(x − h)}{h^{2}} = f′′(x) .

51. [a, b] で f′′(x) が連続で、 (a, b) で f′′′(x) が連続であるとき、次を証明せよ。

(1) f(b) = f(a) + \frac{1}{2}(b − a)\{f′(a) + f′(b)\} − \frac{1}{12}(b − a)^{3}f′′′(c)
(2) f(b) = f(a) + (b − a)f′ (\frac{a + b}{2}) + \frac{1}{24}(b − a)^{3}f′′′(c)

52. Arctan x = x − \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} − ⋯ + (−1)^{n−1} \frac{x^{2n−1}}{2n − 1} + ⋯ (−1 ≤ x ≤ 1) を証明せよ。

(ここで x = 1 とすることで、\frac{π}{4} = 1 − \frac{1}{3} + \frac{1}{5} − ⋯ + (−1)^{n−1} \frac{1}{2n − 1} + ⋯ が従う。 )

53. Taylor の公式 (または Maclaurin の公式) を使って、次の極限値を求めよ。

(1) lim_{x→0} \frac{\sqrt{1 + x} − 1 − x/2}{x^{2}}  (2) lim_{x→0} \frac{e^{x} − e^{−x} − 2x}{x − sin x}  (3) lim_{x→0} (\frac{1}{x^{2}} − \frac{1}{sin^{2} x})

54. Maclaurin の公式を使って、次の不等式を示せ。

1 − x + \frac{x^{2}}{2!} − ⋯ − \frac{x^{2n−1}}{(2n − 1)!} < e^{−x} < 1 − x + \frac{x^{2}}{2!} − ⋯ − \frac{x^{2n−1}}{(2n − 1)!} + \frac{x^{2n}}{(2n)!}

55. 次の関数の Maclaurin の展開式を示せ。

(1) \frac{1}{\sqrt{1 + x}} = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}} x^{n} (2) sin^{2} x = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{2^{2n+1}}{(2n + 2)!}x^{2n+2}

(3) \frac{log(1 + x)}{1 + x} = 2 ∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{2n+1}}{2n + 1}

1杉浦のホームページ ( http://www.math.u-ryukyu.ac.jp/˜ sugiura/index.html ) からもダウンロードできます。 2教科書をよく読み、問 14–16 と p.68–の演習問題 A 7, 8, 9, 11, 12 を解いておくこと。 B 18–26 にも挑戦してください。略解: 48–52, 54, 55 略 53 (1) −1/8 (2) 2 (3) −1/3