微分積分学 AD I, 数学序論演習 I 2002 年 4 月 30 日^{1} ●試験に関する連絡

• 5 月 17 日のテストの日程を変更し 5 月 21 日 (火) とします。試験範囲は第１章 § 3, § 4 とします。

主に教科書の問題とハンドアウトの問題から出題します。しっかり勉強しておいて下さい。 § 3 関数の極限の補足問題 (追加) ^{2}

31. 次の極限値を求めよ。

(1) lim_{x→0} \frac{(1 + x)^{1/5} − (1 − x)^{1/5}}{(1 + 2x)^{1/3} − (1 − 2x)^{1/3}}  (2) lim_{x→∞}(\sqrt{x^{2} + x + 1} − \sqrt{x^{2} − x + 1})  (3) lim_{x→0} sin \frac{1}{x}
(4) lim_{x→0} \frac{1}{x^{2}} \{2 log(1 + x) − log(1 + 2x)\}  (5) lim_{x→∞}(sin \sqrt{x + a} − sin \sqrt{x})  (6) lim_{x→−∞} x (x + \sqrt{x^{2} − 1})

§ 4 連続関数の補足問題 (追加) ^{3}

32. 次の関数が連続となるように定数 a, b を決めよ。

f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{sin x}{x} & (x ∈ (−∞, 0)) \\ ax + b & (x ∈ [0, 1]) \\ \frac{\sqrt{x^{2} + 2} − \sqrt{x^{2} − 4x + 6}}{x − 1} & (x ∈ (1, ∞)) \end{matrix}

33. 次の関数の定義域および連続性を調べ、グラフをかけ。

f(x) = lim_{x→∞} (x + \frac{x}{1 + x} + \frac{x}{(1 + x)^{2}} + ⋯ + \frac{x}{(1 + x)^{n}} )

34. (1) 区間 I において f(x) も g(x) も連続とする。有理数 x に対して f(x) = g(x) が成り立つとき、 I 上のすべての点 x に対しても f(x) = g(x) が成り立つことを示せ。

(2) f が、すべての x, y ∈ R に対し f(x + y) = f(x) + f(y) を満たしかつ連続ならば、 f(x) = f(1)x (x ∈ R) となることを示せ。

注意 (2) で f が連続でない場合、 f(x + y) = f(x) + f(y) を満たしかつ f(x) = f(1)x を満たさない関数 f を構

成できる。

35. 次の関数がそれぞれ指定された区間 I 上で一様連続か調べよ。

(1) e^{−1/|x|} (I = R) (2) x^{2} (I = R) (3) sin \frac{1}{x} (I = (0, π))

36. 関数 f(x) が R 上で連続で lim_{x→∞} f(x) = lim_{x→−∞} f(x) = 0 を満たせば、 f(x) は R 上で一様連続であることを示せ。

§ 5 指数関数, 対数関数, 逆三角関数の補足問題 (追加) ^{4}

37. 次の値を求めよ。

(1) Arcsin 1  (2) Arcsin (−\frac{1}{2})  (3) Arccos \frac{\sqrt{3}}{2}  (4) Arctan \sqrt{3}  (5) lim_{x→∞} Arctan x

38. 次の等式を示せ。

(1) Arcsin \frac{1}{\sqrt{5}} + Arcsin \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{π}{2}  (2) 2 Arctan \frac{1}{3} + Arctan \frac{1}{7} = \frac{π}{4}  (裏面もあります）

1杉浦のホームページ ( http://www.math.u-ryukyu.ac.jp/˜ sugiura/index.html ) からもダウンロードできます。 2略解: 31 (1) 3/10 (2) 1 (3) 極限なし (4) 1 (5) 0 (6) 1/2 3略解: 32 a = \frac{3}{\sqrt{2}} − 1, b = 1 33 定義域 x > −1/2, −1/2 < x < 0, 0 < x で連続, グラフは略 34 略 35 (1) ○ (2) × (3) × 36 略 4略解: 37 (1) π/2 (2) −π/6 (3) π/6 (4) π/3 (5) π/2 38 略

2 微分とその応用 § 1 微分係数, 導関数の補足問題^{5}

39. 次の関数について、 f′_{+}(0), f′_{−}(0), f′(0) が存在するか。存在すればそれを求めよ。

(1) f(x) = \{ \begin{matrix}x^{2} & (x ≥ 0) \\ −x & (x < 0) \end{matrix} (2) f(x) = \{ \begin{matrix}e^{−1/x^{2}} & (x ≠ 0) \\ 0 & (x = 0) \end{matrix}

(3) f(x) = \{ \begin{matrix}x^{2} cos \frac{1}{x} & (x > 0) \\ 0 & (x ≤ 0) \end{matrix} (4) f(x) = \{ \begin{matrix}\sqrt{2x + 1} & (x ≥ 0) \\ ax^{2} + bx + 1 & (x < 0) \end{matrix} (ただし、 a, b は定数。 )

(5) f(x) = |x| − sin |x| (6) f(x) = \{ \begin{matrix}x sin \frac{1}{x} & (x ≠ 0) \\ 0 & (x = 0) \end{matrix}

40. 次の関数の導関数を求めよ。

(1) Arccos(sin x) (2) Arcsin(cos x) (3) Arctan x + Arctan \frac{1}{x}

(4) Arcsin(2x\sqrt{1 − x^{2}}) (5) Arctan \sqrt{\frac{1 − cos x}{1 + cos x}}

41. 次の媒介変数表示の関数から dy/dx を求めよ。

(1) x = a (t + \frac{1}{t}) , y = a (t − \frac{1}{t}) (2) x = \frac{3at}{1 + t^{3}} , y = \frac{3at^{2}}{1 + t^{3}}

42. 次の関数の n 次導関数を求めよ。 (ただし、 a, b は定数。 )

(1) e^{ax+b} (2) \frac{1}{x^{2} + 3x + 2} (3) e^{x} cos x (4) sin^{3} x (5) cos ax sin bx (6) x^{n−1} log x

43. 次の媒介変数表示の関数から d^{2}y/dx^{2} を求めよ。

(1) x = a cos t, y = b sin t (2) x = a cos^{3} t, y = b sin^{3} t

44. y = Arctan x に対し、\frac{d^{n}y}{dx^{n}} = (n − 1)! cos^{n} y sin (ny + \frac{nπ}{2} ) (n = 1, 2, …) を示せ。

45. f(x) = Arctan x のとき、次を示せ。

(1) (1 + x^{2})f^{(n+1)}(x) + 2nxf^{(n)}(x) + n(n − 1)f^{(n−1)}(x) = 0
(2) f^{(2m)}(0) = 0, f^{(2m+1)}(x) = (−1)^{m}(2m)!

46. H_{n}(x) = (−1)^{n}e^{x^{2}/2} \frac{d^{n}}{dx^{n}} (e^{−x^{2}/2}) に対し、以下を示せ。

(1) H_{n+1}(x) = xH_{n}(x) − nH_{n−1}(x) (これによって、 H_{n}(x) が n 次多項式であることがわかる。これを Hermite 多項式と呼ぶ。 )

(2) H′_{n}(x) = nH_{n−1}(x)

(3) H′′_{n}(x) − xH′_{n}(x) + nH_{n}(x) = 0 (Hermite の微分方程式)

47. L_{n}(x) = e^{x} \frac{d^{n}}{dx^{n}} (x^{n}e^{−x}) に対し、以下を示せ。

(1) L_{n}(x) は n 次多項式である。 (Laguerre の多項式)

(2) xL′′_{n}(x) + (1 − x)L′_{n}(x) + nL_{n}(x) = 0 (Laguerre の微分方程式)

5教科書をよく読み、問 1–13 と p.68–の演習問題 A, 1–3, 6, 7, 10 を解いておくこと。略解: 39 f′_{+}(0), f′_{−}(0), f′(0) の順に (1) 2, −1, なし (2) 0, 0, 0 (3) 0, 0, 0 (4) 1, b, b = 1 のときのみ存在し 1 (5) 0, 0, 0 (6) なし, なし, なし 40 (1) − \frac{cos x}{| cos x|} (2) \frac{sin x}{| sin x|} (3) 0 (4) \frac{2(1−2x^{2})}{|1−2x^{2}|\sqrt{1−x^{2}}} (5) 1/2 (x > 0), −1/2 (x < 0) 41 (1) \frac{t^{2}+1}{t^{2}−1} (2) \frac{2t−t^{4}}{1−2t^{3}} 42 (1) a^{n}e^{ax+b} (2) (−1)^{n}n! \{(x + 1)^{−n−1} − (x + 2)^{−n−1}\} (3) 2^{\frac{n}{2}} e^{x} cos (x + \frac{nπ}{4} ) (4) \frac{1}{4} \{3 sin (x + \frac{nπ}{2} ) − 3^{n}3 sin (3x + \frac{nπ}{2} )\} (5) \frac{1}{2} [(a + b)^{n} sin \{(a + b)x + \frac{nπ}{2} \} + (b − a)^{n} sin \{(b − a)x + \frac{nπ}{2} \}] (6) \frac{(n−1)!}{x} 43 (1) \frac{b}{a^{2}} sin^{3} t (2) \frac{b}{3a^{2} cos^{4} t sin t} 44–47 略