微分積分学 AD I, 数学序論演習 I 2002 年 4 月 19 日^{1}

●試験に関する連絡

• 5 月 7 日のテストの範囲は第１章 § 1, § 2 とします。主に教科書の問題とハンドアウトの問題から出題します。しっかり勉強しておいて下さい。^{2}

• それ以降のテストの予定は、 2 回目を 5 月 17 日、 3 回目を 5 月 31 日、 4 回目を 6 月 14 日、 5 回目を 6 月 28 日にする予定です。範囲等は追って連絡します。

§ 2 数列の補足問題 (続き) ^{3}

15. 数列 {a_{n}} に対し次の定数 c, 0 ≤ c < 1, の存在を仮定する。

∀n ≥ 2 に対し |a_{n+1} − a_{n}| ≤ c|a_{n} − a_{n−1}|

このとき、 {a_{n}} が Cauchy 列であることを証明せよ。

16. 次の数列 {a_{n}} が Cauchy 列であることを示し lim_{n→∞} a_{n} を求めよ。

(1) a_{1} = 1, a_{n+1} = 1 + \frac{1}{a_{n} + 1}  (n ∈ N)
(2) a_{1} ≥ 0, a_{n+1} = \sqrt{a_{n} + 1}  (n ∈ N)

(3) α > 0, β > 0, α + β = 1, a_{n} = αa_{n−1} + βa_{n−2} (n ≥ 3)

17. r ≠ 1 のとき等比級数の公式 ∑_{k=0}^{n} r^{k} = \frac{1 − r^{n+1}}{1 − r} の両辺を r について微分することにより、

∑_{k=1}^{n} kr^{k−1} = \frac{1 − (n + 1)r^{n} + nr^{n+1}}{(1 − r)^{2}}

を示せ。また、 ∑_{k=1}^{n} k^{2}r^{k−1} はどうなるか考察せよ。

18. 次の級数の収束・発散を判定せよ。

(1) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2} + 1}  (2) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n}{n^{2} + 1}  (3) ∑_{n=1}^{∞} (\sqrt{n^{2} + 1} − n)

19. 次の数列の上極限、下極限を求めよ。

(1) a_{n} = 1 + (−1)^{n}  (2) a_{n} = (−1)^{n} (1 + \frac{1}{n})  (3) a_{n} = n + (−1)^{n}n  (4) a_{n} = n^{2} + (−2)^{n}

20. 数列 {a_{n}} に対し次を示せ。

lim inf_{n→∞} a_{n} ≤ lim inf_{n→∞} \frac{a_{1} + ⋯ + a_{n}}{n} ≤ lim sup_{n→∞} \frac{a_{1} + ⋯ + a_{n}}{n} ≤ lim sup_{n→∞} a_{n}

また、 lim_{n→∞} \frac{a_{1} + ⋯ + a_{n}}{n} が存在すれば、 lim_{n→∞} a_{n} は存在するか。存在する場合は証明を、存在しない場合

例をあげることにより証明せよ。

(裏面もあります） § 3 関数の極限の補足問題^{4}

1杉浦のホームページ ( http://www.math.u-ryukyu.ac.jp/˜ sugiura/index.html ) からもダウンロードできます。 2杉浦は 5 月 2 日から出張で留守にします。質問は 5 月 1 日までにしておくこと。基礎ゼミの先生などに教えをこうのもよいでしょう。 3解答: 15. 略 16. lim a_{n} のみ (1) \sqrt{2} (2) (1 + \sqrt{5})/2 (3) (a_{2} + βa_{1})/(1 + β) (ヒント： a_{n} + βa_{n−1} = a_{n−1} + βa_{n−2} を用いよ)

17. ∑ k^{2}r^{k−1} = \frac{1+r−(n+1)^{2}r^{n}+(2n^{2}+2n−1)r^{n+1}−n^{2}r^{n+2}}{(1−r)^{3}} 18. (1) 収束 (2) 発散 (3) 発散 19. lim sup a_{n}, lim inf a_{n} の順に (1) 2, 0 (2) 1, −1 (3) ∞, 0 (4) ∞, −∞ 20 前半は略、後半は問題 19(1) の例を考えよ

21. 次の極限値は存在するか。存在すればその値を求め、存在しなければその理由を述べよ。

(1) lim_{x→0} \frac{sin x^{2}}{x}  (2) lim_{x→π/2} \frac{sin(cos x)}{cos x}  (3) lim_{x→1} \frac{tan(x^{2} − 1)}{x − 1}  (4) lim_{x→+0} e^{−1/x}  (5) lim_{x→−0} e^{−1/x}
(6) lim_{x→0} sin \frac{1}{x}  (7) lim_{x→0} x sin \frac{1}{x}  (8) lim_{x→∞} x sin \frac{1}{x}  (9) lim_{x→−0} \frac{[x]}{x}  (10) lim_{x→+0} \frac{[x]}{x}

(11) lim_{x→1+0} \frac{x^{2} + x − 2}{|x − 1|} (12) lim_{x→1−0} \frac{x^{2} + x − 2}{|x − 1|}

22. lim_{x→0} \frac{(1 + x)^{−1/2} − (1 − ax)}{x^{2}} が極限をもつように a を定め、極限を求めよ。

23. 次の極限を求めよ。但し、 0 < a < b < c とする。

(1) lim_{x→∞} (a^{x} + b^{x} + c^{x})^{1/x} (2) lim_{x→−∞} (a^{x} + b^{x} + c^{x})^{1/x}

24. 実数 x に対し lim_{m→∞} { lim_{n→∞}(cos m!πx)^{n}} を求めよ。

§ 4 連続関数の補足問題^{5}

25. f(x) = \{ \begin{matrix}x & (x は有理数) \\ 0 & (x は無理数) \end{matrix} とおくと、 f(x) は x = 0 でのみ連続で、 x ≠ 0 なる点 x では不連続であることを示せ。

26. (0, ∞) での方程式 x tan x = 1 の解について次を示せ。

(1) 区間 (nπ, xπ + π/2) (n = 0, 1, 2, …) に解が一つずつある。

(2) (nπ, xπ + π/2) にある解を x_{n} = nπ + α_{n} とおくと {α_{n}} は次を満たす。

(a) \frac{π}{2} > α_{0} > α_{1} > ⋯ > α_{n} > ⋯ (b) lim_{n→∞} α_{n} = 0

27. n が奇数のとき方程式 x^{n} + a_{1}x^{n−1} + ⋯ + a_{n−1}x + a_{n} = 0 は少なくとも一つの実数解を持つことを示せ。 28. R 上の連続関数 f(x) が次の条件 (∗) を満たせば、 y = f(x) のグラフは直線 y = x と必ず交わることを

示せ。

(∗) |f(x)| ≤ a|x| + b

ただし、 0 < a < 1, b > 0 は定数とする。

29. 区間 (0, 1] において、最大値も最小値もとらない連続関数の例をあげよ。

§ 5 指数関数, 対数関数, 逆三角関数の補足問題^{6}

30. f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{Arcsin x}{x} & (x ≠ 0) \\ 1 & (x = 0) \end{matrix} が x = 0 で連続あることを示せ。

4教科書をよく読み、問 19–28 と p.31–の演習問題 A, 12 と B, 25 を解いておくこと。解答: 21 (1) 0 (2) 1 (3) 2 (4) 0 (5) ∞ (6) 存在しない (7) 0 (8) 1 (9) ∞ (10) 0 (11) 3 (12) −3 22 a = 1/2 極限 3/8 23 (1) c (2) a 24 0 (x ：無理数) 1 (x ：有理数)

5教科書をよく読み、問 29–34 と p.31–の演習問題 A, 13–15 と B, 28–31 も解いておくこと。解答: 25–28 略 29 例えば\frac{1}{x} sin \frac{1}{x} 6教科書をよく読み、問 35–38 と p.31–の演習問題 A, 16, 17 を解いておくこと。解答: 30 略