微分積分学 AD II, 数学序論演習 II テスト 6 回目出題日 2002 年 2 月 8 日

1. 次の線積分を求めよ。ただし、 (3)–(5) において C には正の向きが与えられているとする。

(1) ∫_{C} y dx + x^{2} dy, C は (x, y) = (t, Arctan t) (0 ≤ t ≤ 1)

(2) ∫_{C} xy dx + (x^{2} − y^{2}) dy, C は折れ線 (0, 0) ⟶ (1, 0) ⟶ (1, 1)

(3) ∫_{C} (x^{2} + y^{2}) dx + 2xy dy, C は y = x と y = x^{2} の囲む部分の境界

(4) ∫_{C} \frac{−y}{x^{2} + y^{2}} dx + \frac{x}{x^{2} + y^{2}} dy, C は x^{2} + y^{2} = 1

(5) ∫_{C} e^{x} cos y dx − e^{x} sin y dy, C は (x − 2)^{2} + y^{2} = 4 (ヒント： Green の定理を用いよ。 )

2. 次の微分方程式を解け。

(1) 2xy(1 + y) + (1 + x^{2})(1 + 2y) \frac{dy}{dx} = 0
(2) (1 + x^{2}) \frac{dy}{dx} = 1 + y^{2}
(3) 2xy + (y^{2} − 3x^{2}) \frac{dy}{dx} = 0
(4) x \frac{dy}{dx} − y = x log x

(ヒント： (3) は同次形、 (4) は定数変化法を用いよ。 )

3. Bernoulli の微分方程式\frac{dy}{dx} + P (x)y = Q(x)y^{α} (α ≠ 0, 1) は u = y^{1−α} とおくと 1 階線形微分方程式に帰着できる。これを用いて次の微分方程式を解け。

\frac{dy}{dx} + 2xy = 2x^{3}y^{3}

連絡 2 月 12 日（火） 15:10 から答案用紙を返却するので、返却を希望する者は理学部 408 室 (数学序論を行っている教室) に受け取りに来ること。