微分積分学 AD II, 数学序論演習 II テスト 5 回目出題日 2002 年 1 月 22 日

1. 次の 3 重積分の値を求めよ。

(1) ∫∫∫_{D} x^{3}y^{2}z dx dy dz  D = { (x, y, z) | 0 ≤ z ≤ y ≤ x ≤ 1 }
(2) ∫∫∫_{D} x dx dy dz  D = { (x, y, z) | x + y + z ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 }
(3) ∫∫∫_{D} 1 dx dy dz  D = { (x, y, z) | x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ 4, x^{2} + y^{2} ≤ 4x }

(ヒント：円柱座標を用いよ。 )

2. D = { (x, y) | 0 < x ≤ 1 } , D_{n} = { (x, y) | 1/n ≤ x ≤ 1, |y| ≤ n } (n = 1, 2, …) とおくとき、 ⋃_{n=1}^{∞} D_{n} = D を示せ。

3. 次の広義積分の値を求めよ。ただし、用いた近似増加列を明示せよ。 (それが近似増加列になることは示さなくてもよい。 )

(1) ∫∫_{D}(x − y)^{−1/3} dx dy D = { (x, y) | 0 ≤ y < x ≤ 1 }
(2) ∫∫_{R^{2}} e^{−x^{2}−2xy−2y^{2}} dx dy
(3) ∫∫∫_{D} \frac{dx dy dz}{(x^{2} + y^{2} + z^{2} + 1)^{2}}  D = \{ (x, y, z) | x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 \}

4. x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t) (0 ≤ t ≤ 2π) を x 軸のまわりに 1 回転して得られる立体の体積を求めよ。ただし、 a > 0 とする。

5. R^{4} の領域 D = { (x, y, z, w) | |x + y + z + w| ≤ 2, |x − y| ≤ 1, |x + 3z| ≤ 1, |y + z + 2w| ≤ 1} の体積を求めよ。 (ヒント： ∫∫∫∫_{D} dx dy dz dw を求めればよい。 )