微分積分学 AD II, 数学序論演習 II テスト 4 回目出題日 2002 年 1 月 8 日

1. 次の重積分の値を求めよ。

(1) ∫∫_{D} \sqrt{x} dx dy D = \{ (x, y) | x^{2} + y^{2} ≤ 4x \}
(2) ∫∫_{D} x^{2} dx dy D = \{ (x, y) | 0 ≤ x ≤ \frac{1}{\sqrt{2}}, 0 ≤ y ≤ Arcsin x \}
(3) ∫∫_{D} e^{x/y} dx dy D = { (x, y) | 0 ≤ x ≤ y ≤ 1 }

2. 積分の順序を交換することによって、次の逐次積分を計算せよ。

(1) ∫_{0}^{1} dx∫_{x^{2}}^{1} xe^{y^{2}} dy
(2) ∫_{1}^{e} dx ∫_{0}^{log x} \frac{1 + y}{x} dy

3. 次の重積分の値を ( ) 内の変数変換を用いて求めよ。

(1) ∫∫_{D} \frac{y dx dy}{(x + y)^{2} + 1}  D = \{ (x, y) | 1 ≤ x + y ≤ \sqrt{3}, x ≥ 0, y ≥ 0 \}
( x + y = s, y = st )
(2) ∫∫_{D} (x^{2} + y^{2}) dx dy D = { (x, y) | |x + y| ≤ 2, |x − y| ≤ 1 }
( x + y = s, x − y = t )

4. 次の重積分の値を極座標へ変換することによって求めよ。

(1) ∫∫_{D} Arctan \frac{y}{x} dx dy D = \{ (x, y) | 1 ≤ x^{2} + y^{2} ≤ 4, 0 ≤ y ≤ x \}
(2) ∫∫_{D} 1 dx dy D = { (x, y) | (x^{2} + y^{2})^{2} ≤ x^{2} − y^{2} }

5. 円柱面： x^{2} + y^{2} = 4 と円柱面： x^{2} + z^{2} = 4 によってかこまれた部分の体積を求めよ。