微分積分学 AD II, 数学序論演習 II テスト 3 回目出題日 2001 年 12 月 11 日

1. 関数 f(x, y) = e^{x} Arctan y について (0, 0) の近くで n = 3 における Taylor の公式を導け。

2. 関数 f(x, y) = log(1 + x + 2y) について (0, 0) の近くでの Taylor の公式における x^{4}y^{3} の係数を求めよ。

3. 関数 f(x, y) = x^{4} + y^{4} − 2x^{2} + 4xy − 2y^{2} について、その極値を求めよ。

4. 関数 f(x, y) = e^{−x^{2}−y^{2}}(x^{2} + 2y^{2}) の最大値、最小値を求めよ。

5. 方程式 x^{2} − xy + y^{2} = 3 の陰関数 y = φ(x) について、 φ′(x), φ′′(x) を求め、更に y = φ(x) の極値を求めよ。

6. x^{2} + y^{2} + z + Arcsin(xyz) = 0 の定める陰関数 y = ψ(x, y) について、偏導関数 ψ_{x}(x, y), ψ_{y}(x, y) を求めよ。

7. x^{2} + 4y^{2} = 4 のもとで、 x + y の極値を求めよ。

8. x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ のとき、ヤコビ行列式

\frac{∂(x, y, z)}{∂(r, θ, φ)} ≡ | \begin{matrix}x_{r} & x_{θ} & x_{φ} \\ y_{r} & y_{θ} & y_{φ} \\ z_{r} & z_{θ} & z_{φ} \end{matrix} |

を求めよ。