微分積分学 AD II, 数学序論演習 II テスト 2 回目出題日 2001 年 11 月 20 日

1. 集合 U = { (x, y) | 0 < x < 1, 0 < y < 1 } は R^{2} の開集合であり、閉集合ではないことを定義より示せ。ただし、集合 U が開集合であるとは任意の点 p = (a, b) ∈ U に対し B_{r}(p) ⊂ U となる r > 0 が選べることをいい、集合 U が閉集合であるとは U のどんな収束点列の極限点も再び U に属することと定義する。ここで、 B_{r}(p) は中心 p で半径 r の円板の内部： B_{r}(p) = { (x, y) | ∥(x, y) − (a, b)∥ < r } を表す。

2. 次の関数は原点 (0, 0) は連続となるか。

(1) f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{sin(xy)}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} & (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{matrix}

(2) f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{1 − cos(xy)}{x^{4} + y^{4}} & (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{matrix}

3. 次の関数の偏導関数を求めよ。

(1) f(x, y) = Arcsin \frac{y}{x^{2} + y^{2}} (2) f(x, y, z) = x^{\frac{1}{x+y+z}}

4. 関数 z = x^{3} − xy + 2y^{2} の表す曲面の点 (1, 1, 2) における接平面を求めよ。また、この接平面に関して点 (1, 5, −2) と対称な点の座標を求めよ。

5. 関数 f(x, y) = \{ \begin{matrix}xy Arctan |\frac{y}{x}| & x ≠ 0 \\ 0 & x = 0 \end{matrix} について f_{xy}(0, 0), f_{yx}(0, 0) を求めよ。

6. z = e^{xy}, x = log \sqrt{u^{2} + v^{2}}, y = Arctan (\frac{v}{u}) のとき\frac{∂z}{∂u}, \frac{∂z}{∂v} を求めよ。

7. C^{2}-級関数 f(x, y) に対して、 z = f(x, y), x = r cos θ, y = r sin θ とおくとき

\frac{∂^{2}z}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}z}{∂y^{2}} = \frac{∂^{2}z}{∂r^{2}} + \frac{1}{r} \frac{∂z}{∂r} + \frac{1}{r^{2}} \frac{∂^{2}z}{∂θ^{2}}

を証明せよ。

8. f(x, y) = Arccos (\frac{x}{y}) として方向微分 D\frac{π}{3} f(1, 2) を求めよ。