微分積分学 AD II, 数学序論演習 II テスト 1 回目出題日 2001 年 10 月 26 日 1. 次の f_{n}(x) と I に対し、関数列 {f_{n}(x)} が I 上で一様収束するか調べよ。

(1) f_{n}(x) = nx^{2}e^{−nx}, I = [0, 1] (2) f_{n}(x) = \frac{1}{1 + (x − n)^{2}} , I = R

2. f_{n}(x) = n^{2}x(1 − x)^{n} (0 ≤ x ≤ 1) とおくとき次を求めよ。

(1) lim_{n→∞} f_{n}(x) (2) lim_{n→∞} sup_{0≤x≤1} f_{n}(x) (3) lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} f_{n}(x) dx

3. 次で関数項級数が I 上で一様収束するか調べよ。

(1) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2} + x^{2}} , I = R (2) ∑_{n=0}^{∞} xe^{−nx}, I = [0, 1]

4. f(x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin nx}{n^{3}} に対し、

∫_{0}^{π} f(x) dx = 2 ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{(2n − 1)^{4}}  および f′(x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos nx}{n^{2}}

を証明せよ。

5. 次のべき級数の収束半径を求めよ。

(1) ∑_{n=1}^{∞} (1 − \frac{1}{n})^{n^{2}} x^{n} (2) ∑_{n=0}^{∞} \frac{(n!)^{2}}{(2n)!}x^{n} (3) ∑_{n=1}^{∞} (1 + \frac{1}{2} + ⋯ + \frac{1}{n}) x^{n}

6. べき級数 ∑_{n=0}^{∞}(\sqrt{n + 2} − \sqrt{n})x^{n} の収束域 (収束する x の範囲) を求めよ。

7. 等比級数の和の式\frac{1}{1 + x^{2}} = ∑_{n=0}^{∞}(−x^{2})^{n} を用いて

Arctan x = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{2n + 1}x^{2n+1} (−1 ≤ x ≤ 1)

を導け。更にこれより、\frac{π}{4} = 1 − \frac{1}{3} + \frac{1}{5} − \frac{1}{7} + ⋯ となることを示せ。

8. 極座標表示で r = sin 3θ (0 ≤ θ ≤ 2π) と表わされる曲線に囲まれた部分の面積を求めよ。

Hint 集条件などを忘れがちな収束に関する定理を述べておく。 ●定数 γ に対し ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{γ}} は γ ≤ 1 のとき発散し、 γ > 1 のとき収束する。定理 5.1 区間 I 上の連続関数列 {f_{n}(x)} が f(x) に I 上で一様収束すれば、 f(x) は I 上の連続関数となる。定理 5.3 有界閉区間 [a, b] 上で積分可能な関数の列 {f_{n}(x)} が f(x) に [a, b] 上で一様収束すれば、 f(x) も [a, b] 上で積分可能で、

lim_{n→∞} ∫_{a}^{b} f_{n}(x) dx = ∫_{a}^{b} f(x) dx

となる。定理 5.5 区間 I 上の C^{1} 級関数の列 {f_{n}(x)} が f(x) に I 上で各点収束し、 {f′_{n}(x)} が g(x) に I 上で一様収束すれば、 f(x) も C^{1} 級で、 f′(x) = g(x) となる。定理 (Weierstrass の M-判定法) 区間 I 上の関数項級数 ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) に対し、数列

{M_{n}} で |f_{n}(x)| ≤ M_{n} (n = 1, 2, …, x ∈ I) かつ ∑_{n=1}^{∞} M_{n} < ∞ を満たすものが存

在すれば、 ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) は I 上の一様収束する。

定理 (Abel の定理) べき級数 S(x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} の収束半径が R (0 < R < ∞) とする。もし、 x = R においてこの級数が収束するなら収束は [0, R] でも一様であり、従って S(x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} は (−R, R] において連続、即ち、 lim_{x→R−0} S(x) = S(R) となる。 x = −R についても同様のことが成立する。