微分積分学 AD II, 数学序論演習 II 2002 年 2 月 8 日の試験の解答の要点^{1}

1 (1) (与式) = ∫_{0}^{1} (Arctan t + t^{2} · \frac{1}{1 + t^{2}} ) dt = ⋯ = 1 − \frac{1}{2} log 2

(2) C = C_{1} + C_{2}, C_{1} : (x, y) = (t, 0) 0 ≤ t ≤ 1, C_{2} : (x, y) = (1, t) 0 ≤ t ≤ 1 より

(与式) = ∫_{C_{1}} xy dx + (x^{2} − y^{2}) dy + ∫_{C_{2}} xy dx + (x^{2} − y^{2}) dy = ∫_{0}^{1} 0 dt + ∫_{0}^{1}(1 − t^{2}) dt = \frac{2}{3}

(3) C = C_{1} + C_{2}, C_{1} : (x, y) = (t, t^{2}) 0 ≤ t ≤ 1, −C_{2} : (x, y) = (t, t) 0 ≤ t ≤ 1 より

(与式) = ∫_{C_{1}}(x^{2} + y^{2}) dx + 2xy dy − ∫_{C_{2}}(x^{2} + y^{2}) dx + 2xy dy = ⋯ = 0

(4) C : (x, y) = (cos t, sin t) 0 ≤ 2π より (与式) = ∫_{0}^{2π}{(− sin t)(− sin t) + cos t cos t} dt = 2π

(5) D = {(x, y) | (x − 2)^{2} + y^{2} ≤ 4} とすると、 e^{x} sin y, e^{x} cos y は R^{2} 上で C^{∞}-級であるから Green の定理を用いれば

(与式) = ∫∫_{D} \{\frac{∂}{∂x}(−e^{x} sin y) − \frac{∂}{∂y} (e^{x} cos y)\} dx dy = ∫∫_{D} \{−e^{x} sin y − (−e^{x} sin y)\} dx dy = 0

2 (1) y = 0, y = −1 がともに解であることに注意する。与式より、\frac{1+2y}{y(1+y)} dy = −\frac{2x}{1+x^{2}} dx.

∫ \frac{1+2y}{y(1+y)} dy = ∫ (\frac{1}{y} + \frac{1}{1+y}) = log |y(1 + y)|, − ∫ \frac{2x}{1+x^{2}} dx = − log(1 + x^{2})

よって、 log |y(1 + y)| = − log(1 + x^{2}) + C, 即ち、 y(1 + y) = \frac{±e^{c}}{1+x^{2}} . ここで A = ±e^{c} とすると、以上のことより y(1 + y) = \frac{A}{1+x^{2}} (A は任意定数) を得る。

(2) 与式より ∫ \frac{dy}{1+y^{2}} = ∫ \frac{dx}{1+x^{2}} となるから、 arctan y = arctan x + C を得る。^{2} よって C ≠ \frac{π}{2} + nπ (n は整数) のとき加法定理より、 y = tan(arctan x + C) = \frac{x+tan C}{1−x tan C}, ここで A = tan C とおき y = \frac{x+A}{1−Ax} (A は任意定数) を得る。 C = \frac{π}{2} + nπ (n は整数) のときは arctan y − \frac{π}{4} = arctan x + \frac{π}{4} + nπ と変形してから加法定理を用いることで、\frac{y−1}{1+y} = \frac{x+1}{1−x}, 整理して xy = −1 を得る。

(3) 与式を変形して2\frac{y}{x} +\{(\frac{y}{x})^{2} − 3\} \frac{dy}{dx} = 0より、 u = \frac{y}{x} とおくと2u+(u^{2} − 3) (u + x\frac{du}{dx}) = 0,

これを整理して\frac{u^{2}−3}{u(u^{2}−1)} \frac{du}{dx} = −\frac{1}{x}, ただし u = 0, u = −1, u = 1 も解である。 ∫ \frac{u^{2}−3}{u(u^{2}−1)}du =

∫ \{\frac{3}{u} − \frac{1}{u−1} − \frac{1}{u+1}\} du = log |\frac{u^{3}}{u^{2}−1} | より、 log |\frac{u^{3}}{u^{2}−1} | = − log |x| + C、即ち、\frac{u^{3}}{u^{2}−1} = \frac{A}{x} (A = ±e^{c}) を得る。以上より u = \frac{y}{x} から x, y の式に戻すと、 y^{3} = A(y^{2} − x^{2}) (A は任意定数), y = x, y = −x となる。

(4) x\frac{dy}{dx} −y = 0 を解いて y = Ax. よって定数変化法により与えられた方程式の解は y = A(x)x とできる。与式より A′(x) = \frac{log x}{x} であるから、 A(x) = ∫ \frac{log x}{x} = \frac{1}{2}(log x)^{2} + C より、 y = x \{\frac{1}{2}(log x)^{2} + C\} (C は任意定数) となる。

3 1 月 29 日に配布したハンドアウト p.124 例 6.1.4 を見よ。

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1注意この「試験の解答の要点」は解答の要点である。そのままの答えでは完全な解答とは言えない。尚、誤りを含む可能性もある。（これは採点時に修正する。）配点は 1 が各 5 点、 2 が各 7 点、 3 が 8 点で、満点は 61 点である。

2ここで、 arctan x は (−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} ) を値域にするとは限らないことに注意せよ。つまりある整数 m, n があって、 arctan x ∈ (−\frac{π}{2} + mπ, \frac{π}{2} + mπ), arctan y ∈ (−\frac{π}{2} + nπ, \frac{π}{2} + nπ) と考えている。