微分積分学 AD II, 数学序論演習 II 2002 年 1 月 22 日の試験の解答の要点

まず、問題 1(3) の出題ミスがありました。（このままでは解けない。）お詫びします。そのため配点を変更し問題 4 のみ 5 点, 他が各 10 点とし満点は 75 点のままとした。尚、 1(3) は採点の対象から除外した。

1 (1) (与式) = ∫_{0}^{1} dx∫_{0}^{x} dy∫_{0}^{y} x^{3}y^{2}z dz = ⋯ = \frac{1}{90}

(2) D = { (x, y, z) | 0 ≤ z ≤ 1 − x − y, (x, y) ∈ D′ }, D′ = { (x, y) | 0 ≤ y ≤ 1 − x, 0 ≤ x ≤ 1 } より

(与式) = ∫∫_{D′}\{∫_{0}^{1−x−y} x dz\} dx dy = ∫∫_{D′} x(1 − x − y) dx dy = ∫_{0}^{1} dx∫_{0}^{1}\{⋯ \} dy = \frac{1}{24}

(3) D を { (x, y, z) | x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ 4, x^{2} + y^{2} ≤ 2x } とすべきであった。このとき、円柱座標 x = r cos θ, y = r sin θ, z = z により次の Ω が D に写されるので Ω = \{ (r, θ, z) | −\sqrt{4 − r^{2}} ≤ z ≤ \sqrt{4 − r^{2}}, 0 ≤ r ≤ 2 cos θ, −\frac{π}{2} ≤ θ ≤ \frac{π}{2} \}

(与式) = ∫∫∫_{Ω} |\frac{∂(x, y, z)}{∂(r, θ, z)}| dr dθ dz = ∫_{−π/2}^{π/2} dθ∫_{0}^{2 cos θ} dr∫_{−\sqrt{4−r^{2}}}^{√\overline{4−r^{2}}} r dz = ⋯ = \frac{16π}{3} − \frac{64}{9}

2 ∪_{n=1}^{∞}D_{n} ⊂ D について: (x, y) ∈ ∪_{n=1}^{∞}D_{n} とすると、ある n が存在して (x, y) ∈ D_{n} であるが、明らかに D_{n} ⊂ D であるから (x, y) ∈ D となり従う。^{1} ∪_{n=1}^{∞}D_{n} ⊃ D について: (x, y) ∈ D とすると、 n_{1} ∈ N を 1/x < n_{1} と、 n_{2} ∈ N を |y| > n_{2} となるように選び n = max{n_{1}, n_{2}} とすれば (x, y) ∈ D_{n}、従って (x, y) ∈ ∪_{n=1}^{∞}D_{n} を得る。

3 (1) D_{n} = \{(x, y) | 0 ≤ y < x − \frac{1}{n}, \frac{1}{n} ≤ x ≤ 1\} とすると \{D_{n}\} は D の近似増加列となる。

(与式) = lim_{n→∞} ∫∫_{D_{n}}(x − y)^{−1/3} dx dy = lim_{n→∞} ∫ 1_{\frac{1}{n}} dx∫_{0}^{x− \frac{1}{n}} (x − y)^{−1/3} dy = ⋯ = \frac{9}{10}

(2) x^{2}+2xy+2y^{2} = (x+y)^{2}+y^{2} に注意する。 D_{n} = {(x, y) | (x+y)^{2}+y^{2} ≤ n^{2}} とすると {D_{n}} は R^{2} の近似増加列となる。 x + y = r cos θ, y = r sin θ 即ち x = r(cos θ − sin θ), y = r sin θ とおくと、 Ω_{n} = { (r, θ) | 0 ≤ r ≤ n, 0 ≤ θ ≤ 2π } は D_{n} に写されるので、

(与式) = lim_{n→∞} ∫∫_{D_{n}} e^{−x^{2}−2xy−2y^{2}} dx dy = lim_{n→∞} ∫∫_{Ω_{n}} e^{−r^{2}} |\frac{∂(x, y)}{∂(r, θ)}| dr dθ = ⋯ = π

(3) D_{n} = {(x, y, z) | x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ n^{2}, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0} とすると {D_{n}} は D の近似増加列となる。 R^{3} の極座標 x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ に対し、 Ω_{n} = \{ (r, θ, φ) | 0 ≤ r ≤ n, 0 ≤ θ ≤ \frac{π}{2}, 0 ≤ φ ≤ \frac{π}{2} \} は D_{n} に写されるので、

(与式) = lim_{n→∞} ∫∫∫_{Ω_{n}} \frac{r^{2} sin θ}{(r^{2} + 1)^{2}} dr dθ dφ = lim_{n→∞} \frac{π}{2} ∫_{0}^{n} \frac{r^{2}}{(r^{2} + 1)^{2}} dr = \frac{π^{2}}{8} . 最後の “=” は

r = tan t とおき ∫_{0}^{n} \frac{r^{2}}{(r^{2} + 1)^{2}} dr = ∫_{0}^{Arctan n} sin^{2} t dt → ∫_{0}^{π/2} sin^{2} t dt = \frac{π}{4} (n → ∞) を用

いた。

4 体積 V = ∫_{0}^{2aπ} πy^{2} dx であるが、 x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t) (0 ≤ t ≤ 2π) より

V = ∫_{0}^{2π} πa^{2}(1 − cos t)^{2}a(1 − cos t) dt = ⋯ = 5π^{2}a^{3} 5 s = x + y + z + w, t = x − y, u = x + 3z, v = y + z + 2w とおく、即ち、

1集合 A, B について、 “A = B ⟺^{def} 「A ⊂ B かつ A ⊃ B」 ”, “A ⊂ B ⟺^{def} 「x ∈ A ⟹ x ∈ B」 ”

(\begin{matrix}s \\ t \\ u \\ v \end{matrix}) = A (\begin{matrix}x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}) , A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & −1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{matrix} )

とおくと、\frac{∂(x, y, z, w)}{∂(s, t, u, v)} = det A^{−1} = \frac{1}{det A} で

det A = − | \begin{matrix}1 & −1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} | + 2 | \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & −1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{matrix} | = −8

であり、 Ω = { (s, t, u, v) | |s| ≤ 2, |t| ≤ 1, |u| ≤ 1, |v| ≤ 1} が D に写されるから、

∫∫∫∫_{D} dx dy dz dw = ∫∫∫∫_{Ω} |\frac{∂(x, y, z, w)}{∂(s, t, u, v)}| ds dt du dv = \frac{1}{8} ∫_{−2}^{2} ds∫_{−1}^{1} dt∫_{−1}^{1} du∫_{−1}^{1} dv = 4.