微分積分学 AD II, 数学序論演習 II 2002 年 1 月 8 日の試験の解答の要点^{1}

1 本来は集合 D を図示するべきだが省く。解答には図を用いることを強く勧める。

(1) (与式) = ∫_{0}^{4} dx∫_{−\sqrt{4x−x^{2}}}^{√\overline{4x−x^{2}}} \sqrt{x} dy = ⋯ = \frac{256}{15}

(2) (与式) = ∫_{0}^{1/\sqrt{2}} dx∫_{0}^{Arcsin x} x^{2} dy = ∫_{0}^{1/\sqrt{2}} x^{2} Arcsin x dx = ∫_{0}^{1/\sqrt{2}} (\frac{1}{3}x^{3})′ Arcsin x dx

= \frac{\sqrt{2}π}{48} − \frac{1}{6} ∫_{0}^{1/\sqrt{2}} \frac{x^{2} · 2x}{\sqrt{1 − x^{2}}} dx =^{(∗)} \frac{\sqrt{2}π}{48} − \frac{1}{6} ∫_{1/2}^{1} \frac{1 − t}{\sqrt{t}} dt = \frac{\sqrt{2}π}{48} − \frac{2}{9} + \frac{5\sqrt{2}}{36}

(^{(∗)} t = 1 − x^{2} とおく)

(3) (与式) = ∫_{0}^{1} dy∫_{0}^{y} e^{x/y} dx = ⋯ = \frac{1}{2}(e − 1)

2 本来は集合 D を図示するべきだが省く。解答には図を用いることを強く勧める。

(1) D = \{(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, x^{2} ≤ y ≤ 1\} = \{(x, y) | 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ \sqrt{y} \} より

(与式) = ∫∫_{D} xe^{y^{2}} dx dy = ∫_{0}^{1} dy∫_{0}^{√\overline{y}} xe^{y^{2}} dx = ⋯ = \frac{1}{4}(e − 1)

(2) D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ e, 0 ≤ y ≤ log x} = {(x, y) | 0 ≤ y ≤ 1, e^{y} ≤ x ≤ e} より

(与式) = ∫∫_{D}(1 + y)/x dx dy = ∫_{0}^{1} dy∫_{e^{y}}^{e}(1 + y)/x dx = ⋯ = 2/3

3 (1) Ω = \{(s, t)|1 ≤ s ≤ \sqrt{3}, s − st ≥ 0, st ≥ 0\} = \{(s, t)|1 ≤ s ≤ \sqrt{3}, 0 ≤ t ≤ 1\} が指定された変換により D に写されるから

(与式) = ∫∫_{Ω} \frac{st}{s^{2} + 1} |\frac{∂(x, y)}{∂(s, t)}| ds dt = ∫_{1}^{√\overline{3}} ds∫_{0}^{1} \frac{s^{2}t}{s^{2} + 1} dt = ⋯ = \frac{1}{2}(\sqrt{3} − 1) − \frac{π}{24}

(2) Ω = \{(s, t)| |s| ≤ 2, |t| ≤ 1\} が D に写されるから x = \frac{s+t}{2}, y = \frac{s−t}{2} に注意すると

(与式) = ∫∫_{Ω} \frac{1}{2}(s^{2} + t^{2}) |\frac{∂(x, y)}{∂(s, t)}| ds dt = ∫_{−2}^{2} ds∫_{−1}^{1} \frac{1}{4}(s^{2} + t^{2}) dt = ⋯ = \frac{10}{3}

4 (1) 極座標は Ω = \{(r, θ)| 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ \frac{π}{4}\} を D に写すから

(与式) = ∫∫_{Ω} Arctan \frac{r sin θ}{r cos θ} rdr dθ = ∫_{1}^{2} r dr∫_{0}^{π/4} θ dθ = ⋯ = \frac{3π^{2}}{64}

(2) (x^{2} + y^{2})^{2} ≤ x^{2} − y^{2} に x = r cos θ, y = r sin θ を代入して r^{4} ≤ r^{2} cos 2θ, i.e., r^{2} ≤ cos 2θ. cos 2θ ≥ 0 より −\frac{π}{4} ≤ θ ≤ \frac{π}{4}, \frac{3π}{4} ≤ θ ≤ \frac{5π}{4} を得る。よって、 D に写される Ω は Ω = \{(r, θ)| r^{2} ≤ cos 2θ, −\frac{π}{4} ≤ θ ≤ \frac{π}{4}, \frac{3π}{4} ≤ θ ≤ \frac{5π}{4}\} となる。以上より図形の y 軸に関す

る対称性を用いて^{2} (与式) = ∫∫_{Ω} rdr dθ = 2 ∫_{−π/4}^{π/4} dθ∫_{0}^{√\overline{cos 2θ}} r dr = ⋯ = 1

5 D = {(x, y)| x^{2} + y^{2} ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0} とすると、 xy-平面, yz-平面, zx-平面に関し図形は対称^{2} だから

(体積) = 8 ∫∫_{D} \sqrt{4 − x^{2}} dx dy = 8 ∫_{0}^{2} dx∫_{0}^{√\overline{4−x^{2}}} \sqrt{4 − x^{2}} dy = 8 ∫_{0}^{2}(4 − x^{2}) dx = \frac{128}{3}

1注意この「試験の解答の要点」は解答の要点である。そのままの答えでは完全な解答とは言えない。配点は各 7 点で、満点は 70 点である。

2対称性を言及しない解答は減点した。