微分積分学 AD II, 数学序論演習 II 2001 年 11 月 20 日の試験の解答の要点^{1}

1 [10] U が開集合であること。 (a, b) ∈ U とする。 r > 0 を 0 < r < min{a, 1 − a, b, 1 − b} と選べば、 (x, y) ∈ B_{r}((a, b)) のとき |x − a|, |y − b| ≤ ∥(x, y) − (a, b)∥ < r より 0 < a − r < x < a+r < 1, 0 < b−r < y < b+r < 1、即ち、 (x, y) ∈ U を得る。従って、 B_{r}((a, b)) ⊂ U となり、 U は開集合である。^{2} U が閉集合ではないこと。 p_{n} = (\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n+1}) ∈ U (n = 1, 2, …) かつ lim_{n→∞} p_{n} = (0, 0) であるが、 (0, 0) ∉ U なので U は閉集合ではない。

2 [各 5] (1) | sin xy| ≤ |xy| ≤ \frac{x^{2}+y^{2}}{2} より |f(x, y)| ≤ ^{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{2}} → 0 ((x, y) → (0, 0)) である

から連続。

(2) f(t, mt) = \frac{sin^{2} mt^{2}}{t^{4}(1+m^{4})(1+cos mt^{2})} = (\frac{sin mt^{2}}{mt^{2}} )^{2} \frac{m^{2}}{(1+m^{4})(1+cos mt^{2})} → \frac{m^{2}}{2(1+m^{4})} (t → 0) より連続ではない。（もし、 lim_{(x,y)→(0,0)} f(x, y) が存在すれば、 (x, y) → (0, 0) の近づき方によらず一定である。）

3 [4/6] (1) f_{x} = \frac{−2xy}{(x^{2}+y^{2})\sqrt{(x^{2}+y^{2})^{2}−y^{2}}} , f_{y} = \frac{x^{2}−y^{2}}{(x^{2}+y^{2})\sqrt{(x^{2}+y^{2})^{2}−y^{2}}}

(2) f_{x} = x^{\frac{1}{x+y+z}} \{\frac{1}{x(x+y+z)} − \frac{log x}{(x+y+z)^{2}} \}, f_{y} = f_{z} = −^{\frac{x^{\frac{1}{x+y+z}} log x}{(x+y+z)^{2}}}

4 [10] 接平面： z = 2x + 3y − 3 (公式に代入せよ)

対称な点：求める点は接平面に垂直で点 (1, 5, −2) を通る直線上にあるので (2t + 1, 3t + 5, −t − 2) とできる。これと (1, 5, −2) の中点 (t + 1, \frac{3}{2}t + 5, −\frac{1}{2}t − 2) が接平面上にあるので代入して解くと t = −\frac{16}{7} を得る。よって、求める点は (−\frac{25}{7}, −\frac{13}{7}, \frac{2}{7}) である。

5 [10] f_{x}(0, y) = lim_{h→0} \frac{f(h,y)−f(0,y)}{h} = lim_{h→0}y Arctan |\frac{y}{h} | = \frac{π}{2}y ( lim_{x→∞} Arctan x = \frac{π}{2} に注意) より f_{xy}(0, 0) = \frac{∂}{∂y}f_{x}(0, 0) = \frac{π}{2},

f_{y}(x, 0) = lim_{k→0} \frac{f(x,k)−f(x,0)}{k} = 0 より f_{yx}(0, 0) = 0

6 [10] \frac{∂z}{∂u} = \frac{∂z}{∂x} \frac{∂x}{∂u} + \frac{∂z}{∂y} \frac{∂y}{∂u} = ⋯ = \frac{e^{xy}}{u^{2}+v^{2}} (uy −vx), \frac{∂z}{∂v} = \frac{∂z}{∂x} \frac{∂x}{∂v} + \frac{∂z}{∂y} \frac{∂y}{∂v} = ⋯ = \frac{e^{xy}}{u^{2}+v^{2}} (vy +ux) 7 [10] 略 (11 月 13 日の授業中に示した。 ) 8 [5] f_{x} = −\frac{1}{\sqrt{1−(x/y)^{2}}} · \frac{1}{y}, f_{y} = −\frac{1}{\sqrt{1−(x/y)^{2}}} (−\frac{x}{y^{2}} ) より D_{π/3}f(1, 2) = f_{x}(1, 2) cos \frac{π}{3} +

f_{y}(1, 2) sin \frac{π}{3} = −\frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{1}{4}

1注意この「試験の解答の要点」は解答の要点である。そのままの答えでは完全な解答とは言えない。（たいていは０点である。）より詳しくは直接質問に来ること。また、計算間違いを含む可能性もある。 (実際、今回掲示した解答は問題 2(2) と 4 に誤りがあった。 ) [ ] 内は配点で、満点は 75 点である。

2集合 A, B に対し、「A ⊂ B ⟺^{def} ∀p ∈ A に対し p ∈ B」である。